{"id":1320,"date":"2012-10-23T10:00:36","date_gmt":"2012-10-23T08:00:36","guid":{"rendered":"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/?p=1320"},"modified":"2012-10-21T17:43:55","modified_gmt":"2012-10-21T15:43:55","slug":"podcastscience-104-aux-origines-du-zero","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/2012\/10\/podcastscience-104-aux-origines-du-zero\/","title":{"rendered":"Podcastscience 104 – Aux origines du z\u00e9ro"},"content":{"rendered":"

Cet article est une reproduction du dossier que j’ai \u00e9crit pour Podcastscience<\/a> et je vous engage \u00e0 vous abonner \u00e0 ce podcast. Pour les plus flemmards, le texte et l’audio dans la suite…<\/p>\n

[audio:http:\/\/www.podcastscience.fm\/podpress_trac\/web\/1817\/0\/104-Zero_optimise.mp3]\n

Dans ce dossier, nous allons raconter la longue histoire de la d\u00e9couverte d\u2019un nombre. Un simple nombre qui pourtant a tout chang\u00e9 et permet aujourd\u2019hui l\u2019existence des plus grandes th\u00e9ories (mais \u00e7a, nous le verrons la semaine prochaine). Eh oui, apr\u00e8s vous avoir parl\u00e9 de l\u2019infini<\/a>, de pi<\/a>, aujourd\u2019hui on s\u2019attaque au z\u00e9ro!<\/p>\n

La vie sans rien<\/h3>\n

Mais avant de parler du z\u00e9ro lui m\u00eame, nous allons un peu parler du temps o\u00f9 l\u2019on vivait sans cet \u00e9trange nombre. On a peu de traces avant l’apparition de l’\u00e9criture, pour autant, on peut avoir des indices sur l’existence sans le nul en observant notre vie contemporaine. On se rend alors vite compte que l\u2019on n’a pas vraiment besoin de lui dans notre vie de tous les jours : personne n\u2019a besoin d\u2019aller acheter z\u00e9ro baguettes, d\u2019inviter z\u00e9ro amis \u00e0 une soir\u00e9e ou de passer z\u00e9ro secondes sur un travail (surtout ce dernier point, qui est un sous-entendu universel de l’humanit\u00e9 procrastinatrice). Ou plus pr\u00e9cis\u00e9ment, on peut en avoir le besoin mais alors on a pas besoin de l\u2019exprimer : je ne vais pas lister tous les produits dont j\u2019ai besoin sur une liste en mettant un z\u00e9ro dessus!<\/p>\n


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En fait, \u00e0 l\u2019aube des temps humains, les gens faisaient apparement seulement la distinction entre un et beaucoup. On \u00e9tait capable de dire s\u2019il y avait un arbre. Et s\u2019il y en avait plus, il y en avait tout de suite beaucoup. Remarquons que cela aussi est peu diff\u00e9rent aujourd\u2019hui, du moins sans compter, tant qu\u2019il y a 4\u20135 objets, on est capable de tout de suite dire leur nombre et ensuite il y en a \u201cbeaucoup\u201d (faites le test chez vous, \u00e7a marche!).<\/p>\n

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Les hommes r\u00e9ussissaient quand m\u00eame \u00e0 diff\u00e9rentier les groupes, en utilisant la bijection<\/a>! Comme on l’a vu dans le dossier sur l’infini, en pla\u00e7ant sur le sol un caillou \u00e0 chaque objet que l’on voit, on peut savoir qu’il y a plus d’\u00e9l\u00e9ments dans un groupe qu’un autre sans compter. Mais pour y arriver sans bijection et de mani\u00e8re absolue, il faut savoir compter\u2026 Et donc les hommes se sont mis \u00e0 compter justement. Et comme il ne savaient pas forc\u00e9ment encore \u00e9crire, ils utilisaient ce qu’ils avaient de plus facilement disponible : les parties de leur corps! \u00a0L\u2019\u00e9volution, la selection g\u00e9n\u00e9tique et beaucoup de hasard nous ont amen\u00e9s \u00e0 avoir 5 doigts sur chaque main et pied. On pouvait alors facilement compter jusqu’\u00e0 5 et quand il fallait plus, on donne un nom au 5 et on pouvait recommencer \u00e0 1, histoire de pouvoir continuer \u00e0 compter avec les parties de son corps :<\/p>\n

1,2,3,4,5,5 et 1,5 et 2, 5 et 3, etc.<\/p>\n

Et il suffisait d\u2019avoir un nouveau mot pour 10, 15, 20, 25, etc. pour pouvoir compter autant qu\u2019on voulait.<\/p>\n

C\u2019est ce qu\u2019on appelle compter en base 5! Et hasard de l\u2019anatomie, 5 est justement la base pr\u00e9f\u00e9r\u00e9e des hommes quelle que soit la culture. Il y avait d\u2019autres bases aussi, le plus souvent li\u00e9es \u00e0 une partie de notre corps : 5, 10 (deux mains), 20 (mains et pieds) et\u2026 60 qu\u2019utilisaient les Babyloniens!<\/p>\n\n\n\n
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Remarquez que ces syst\u00e8mes de num\u00e9rotations ressemblent beaucoup au syst\u00e8me romain<\/a> (m\u00eame s’il est post\u00e9rieur), que l’on connait tous.<\/p>\n

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Avec ces syst\u00e8mes, les gens pouvaient compter. Pour autant, ces syst\u00e8mes n\u2019avaient pas de z\u00e9ro; ce concept n\u2019existait tout simplement pas! Pour dire qu\u2019on a z\u00e9ro baguette, il suffit de dire \u201cnous n\u2019avons pas de baguettes\u201d, aucun besoin de cr\u00e9er un nombre pour exprimer le manque de quelque chose! Les gens v\u00e9curent longtemps sans z\u00e9ro car ils n\u2019en avaient pas besoin. Et dans les esprits de cette \u00e9poque, il aurait \u00e9t\u00e9 bien saugrenu de cr\u00e9er un symbole pour repr\u00e9senter ce rien.<\/p>\n

Un rien facilite le comptage<\/h3>\n

Les Grecs, les Egyptiens et la plupart des peuples anciens avaient des syst\u00e8mes plus ou moins sophistiqu\u00e9s mais tous bas\u00e9s sur cette m\u00eame id\u00e9e. Le peuple qui a vraiment r\u00e9volutionn\u00e9 la num\u00e9rotation (tout comme il r\u00e9volutionna bien d’autres choses) sont les Babyloniens<\/a>.<\/p>\n

Les Babyloniens repr\u00e9sentaient les chiffres comme s’ils dessinaient symboliquement un abaque<\/a>. Chaque groupe de symboles repr\u00e9sentait le nombre de pierre qu’on avait d\u00e9plac\u00e9 sur l’abaque. La v\u00e9ritable nouveaut\u00e9 de ce syst\u00e8me est que, comme le n\u00f4tre, il fonctionnait par colonnes. L’unit\u00e9 babylonienne ressemble \u00e0 un Y ou \u00e0 un clou. Quand un Babylonien \u00e9crivait YYY, le premier symbole repr\u00e9sentait les “centaines”, le second les “dizaines” et le troisi\u00e8me les “unit\u00e9s”. Si je met ici des guillemets c’est que les Babyloniens ne comptaient pas comme nous, mais en base 60. Ainsi, le premier Y repr\u00e9sentait en fait 3600, le second 60 et le troisi\u00e8me 1. Comme nous \u00e9crivons 123 pour dire en fait 1×100+2×10+3, les Babyloniens \u00e9crivaient YYY pour dire 1×3600+1×60+1.<\/p>\n

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Reste qu’aussi ing\u00e9nieux soit-il, ce syst\u00e8me pr\u00e9sentait un probl\u00e8me de taille. Le nombre YY pouvait aussi bien vouloir dire 3601 que 3660 ou encore 61. En effet, si l’un des chiffres de la d\u00e9composition dans la base ne pr\u00e9sentait pas d’\u00e9l\u00e9ments, les Babyloniens se contentaient de laisser un espace. Il \u00e9tait alors tr\u00e8s difficile de diff\u00e9rencier les chiffres avec pr\u00e9cision. A la recherche d’une solution pour palier ce probl\u00e8me, les Babyloniens ont invent\u00e9 le z\u00e9ro! A cette \u00e9poque, il n’est pas encore un nombre, il se contente seulement d’\u00eatre la repr\u00e9sentation d’un espace, un rien mais qui permet d\u00e9j\u00e0 de lever toute ambiguit\u00e9 sur le syst\u00e8me de num\u00e9rotation. C’est autour de 300 avjc que les Babyloniens ont commenc\u00e9 \u00e0 utilis\u00e9 cet esp\u00e8ce de Y pench\u00e9 pour le z\u00e9ro.<\/p>\n

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Reste que ce z\u00e9ro l\u00e0 n’\u00e9tait pas un nombre, c’\u00e9tait juste un espace dans le syst\u00e8me de num\u00e9rotation, une ponctuation des math\u00e9matiques, en somme. Les Babyloniens auraient par exemple \u00e9t\u00e9 bien incapable de le classer parmi les autres nombres et l’auraient peut \u00eatre amen\u00e9 \u00e0 la droite du 9 comme sur nos claviers, les malheureux! Les Babyloniens n’\u00e9taient pas les seuls \u00e0 utiliser un syst\u00e8me de num\u00e9rotation o\u00f9 les chiffres \u00e9taient sur des colones, les Mayas<\/a> aussi. Et eux choisirent justement de commencer \u00e0 compter \u00e0 partir de z\u00e9ro. Reste qu’\u00e0 cette \u00e9poque, z\u00e9ro n’est pas encore r\u00e9ellement un nombre ou du moins on n’a pas retrouv\u00e9 d’utilisation math\u00e9matique.<\/p>\n

Le vertige des Grecs<\/h2>\n

Les grecs d\u00e9testaient le z\u00e9ro. Ils avaient pourtant connaissance du syst\u00e8me babylonien qu\u2019ils utilisaient entre autres pour leur calculs astronomiques mais se d\u00e9p\u00eachaient de le reconvertir dans leur syst\u00e8me pur, sans ce nombre vide. Il est \u00e0 noter que les grecs \u00e9crivaient le z\u00e9ro \u201co\u201d pour omikron, dont la ressemblance avec notre z\u00e9ro actuel est un pur hasard, on va rapidement voir pourquoi.<\/p>\n

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Une des premi\u00e8res raisons de cette d\u00e9testation de ce simple nombre est que selon les croyance grecques, avant la cr\u00e9ation, il y avait le vide et le chaos ; z\u00e9ro leur \u00e9tait alors inexorablement associ\u00e9.<\/p>\n

Mais ce n\u2019\u00e9tait pas la seule raison de ce rejet, loin de l\u00e0! Le z\u00e9ro \u00e9tait en contradiction ou pire, paradoxal, pour la plupart des croyances grecques. Par exemple z\u00e9ro additionn\u00e9 \u00e0 lui m\u00eame reste le m\u00eame nombre nul. Ce qui contredit directement le principe d\u2019Archim\u00e8de qui dit qu\u2019en ajoutant n\u2019importe quel nombre \u00e0 lui-m\u00eame suffisament de fois, on d\u00e9passe tout nombre. De plus, les grecs avaient une vision g\u00e9om\u00e9trique des nombres; n\u2019importe quel nombre \u00e9tait associ\u00e9 \u00e0 un segment, une multiplication revenait alors \u00e0 dilater le segment et une division \u00e0 le contracter. Mais \u00e0 quoi correspondrait une multiplication par z\u00e9ro? Et \u00e0 quel type de segment correspondrait ce nombre \u00e9trange? \u00a0Comme n’importe quel nombre multipli\u00e9 par z\u00e9ro donne justement z\u00e9ro, le segment est cass\u00e9 de mani\u00e8re irr\u00e9versible, z\u00e9ro est une brute qui casse tout ce qu’il touche, les grecs n’en veulent pas!<\/p>\n

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De nous jours, la d\u00e9finition de z\u00e9ro est justement qu’additionn\u00e9 \u00e0 n’importe quel nombre, il laisse le nombre inchang\u00e9. En revanche, le fait que sa multiplication par n’importe quel nombre donne z\u00e9ro se d\u00e9montre! L’ensemble des nombres entiers relatifs<\/a> (qui n’existe pas encore certes, mais c’est ici une appart\u00e9!) ou plus simplement nomm\u00e9 ensemble de tous les nombres entiers positifs<\/a> est ce que l’on appelle en math\u00e9matiques un groupe pour l’addition. C’est \u00e0 dire qu’il respecte les 4 r\u00e8gles suivantes :<\/p>\n