{"id":1397,"date":"2013-01-26T20:37:19","date_gmt":"2013-01-26T18:37:19","guid":{"rendered":"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/?p=1397"},"modified":"2013-03-12T12:59:01","modified_gmt":"2013-03-12T10:59:01","slug":"podcastscience-116-la-transformee-de-fourier","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/2013\/01\/podcastscience-116-la-transformee-de-fourier\/","title":{"rendered":"PodcastScience 116 : La transform\u00e9e de Fourier"},"content":{"rendered":"<p>Cet article est une reproduction du dossier que j&#8217;ai \u00e9crit pour\u00a0<a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/dossiers\/2012\/10\/22\/zero-et-infini-lhistoire-damour\/\">Podcastscience<\/a>\u00a0et je vous engage \u00e0 vous abonner \u00e0 ce podcast. Pour les plus flemmards, le texte et l&#8217;audio dans la suite&#8230;<\/p>\n[audio:http:\/\/www.podcastscience.fm\/podpress_trac\/web\/2226\/0\/116-transformee-fourier.mp3]\n<p>En 1799, <a href=\"http:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Pierre_de_Rosette\">une pierre pour le peu \u00e9tonnante est d\u00e9couverte \u00e0 Rosette<\/a>. Ce simple morceau de roche contient trois inscriptions : l\u2019une en Hi\u00e9roglyphes \u00e9gyptiens anciens, la deuxi\u00e8me en \u00e9gyptien d\u00e9motique et la troisi\u00e8me en grec ancien. Rapidement, l\u2019intuition universellement partag\u00e9e \u00e9tait que les trois inscriptions \u00e9taient le m\u00eame message dans les trois langues.<\/p>\n<p>Encore fallait-il le prouver et surtout trouver le moyen de faire le chemin d\u2019une langue \u00e0 l\u2019autre. C\u2019est exactement ce que termina <a href=\"http:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Jean-Fran%C3%A7ois_Champollion\">Champollion<\/a>, un prot\u00e9g\u00e9 de<a href=\"http:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Joseph_Fourier\"> Joseph Fourier<\/a> (le math\u00e9maticien dont nous allons tr\u00e8s vite reparler), en r\u00e9solvant le myst\u00e8re des hi\u00e9roglyphes.<\/p>\n<p>Il existe autant de syst\u00e8mes de communication que de groupes d\u2019\u00eatres vivants qu\u2019il p\u00fbt y avoir dans l\u2019histoire. Et en g\u00e9n\u00e9ral, animaux ou humains ont contruit leur \u00ab\u00a0langage\u00a0\u00bb pour r\u00e9pondre au mieux \u00e0 leurs besoins. Chaque traduction n\u2019est alors que la transcription d\u2019une m\u00eame id\u00e9e. Dans l\u2019avant-propos de l\u2019\u00e9dition fran\u00e7aise de <a href=\"http:\/\/www.amazon.fr\/G%C3%B6del-Escher-Bach-Guirlande-Eternelle\/dp\/2100523066\/ref=sr_1_2?ie=UTF8&amp;qid=1359209721&amp;sr=8-2\">GEB<\/a> (ce fameux livre dont je vous parle dans trois dossiers sur quatre), l\u2019auteur (le vrai, l\u2019anglais) qui a tenu \u00e0 \u00e9crire cet avant-propos en fran\u00e7ais, raconte cela mieux que quiconque :<\/p>\n<p>\u00ab\u00a0Qui lira les \u00e9ditions anglaise et fran\u00e7aise de GEB aura un avantage sur les lecteurs en une seule langue : en comparant deux passages, il pourra distinguer ce qui est \u00ab\u00a0glissable\u00a0\u00bb, ou l\u2019inessentiel, de ce qui est ferme et essentiel. Comme cela, il d\u00e9couvrira un noyau inglissable : le GEB \u00ab\u00a0platonicien\u00a0\u00bb, le GEB id\u00e9al, flottant majestueusement dans un espace \u00e9th\u00e9r\u00e9, ind\u00e9pendant de toute langue terrestre.[\u2026] Chaque GEB concret \u2014 c\u2019est \u00e0 dire dans une langue particuli\u00e8re \u2014 n\u2019est que l\u2019ombre du GEB platonicien sur un mur particulier.\u00a0\u00bb<\/p>\n<p>Ce dossier propose de raconter comment la transform\u00e9e de Fourier et ses d\u00e9veloppements ont offert aux sciences une infinit\u00e9 de langages et une m\u00e9thode de traduction pour passer de l\u2019un \u00e0 l\u2019autre.<\/p>\n<h4>\u00c0 la d\u00e9couverte d\u2019un nouveau langage<\/h4>\n<p>Tout comme la pierre de rosette permit de relier plusieurs langues, c\u2019est par deux \u00ab\u00a0traductions\u00a0\u00bb d\u2019un m\u00eame probl\u00e8me que sont apparues pour la premi\u00e8re fois les s\u00e9ries de Fourier, anc\u00eatre de la transform\u00e9e de Fourier. Ce probl\u00e8me, c\u2019est celui de mettre en \u00e9quation le mouvement d\u2019une corde de guitare apr\u00e8s qu\u2019on l\u2019ait l\u00e2ch\u00e9e. Ce m\u00eame mouvement que l\u2019on peut facilement observer gr\u00e2ce \u00e0 certains smartphones\u2026<\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" src=\"http:\/\/www.youtube.com\/embed\/TKF6nFzpHBU\" height=\"315\" width=\"420\" allowfullscreen=\"\" frameborder=\"0\"><\/iframe><\/p>\n<p>Pour mettre en \u00e9quation ce probl\u00e8me, on choisit de s\u2019int\u00e9resser \u00e0 l\u2019\u00e9cartement de la corde par rapport \u00e0 sa position au repos tout au long de celle-ci.<\/p>\n<p><a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/dossiers\/2013\/01\/26\/fourier-transformation\/attachment\/guitares\/\" rel=\"attachment wp-att-2232\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-large wp-image-2232\" alt=\"guitares\" src=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/guitares-590x587.jpg\" width=\"590\" height=\"587\" \/><\/a><\/p>\n<p>Cet \u00e9cartement d\u00e9pend non seulement de la position sur la corde (il n\u2019y a aucune raison que la corde ait le m\u00eame \u00e9cartement partout) et du temps (elle vibre!). En fait, depuis que <a href=\"http:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Isaac_Newton\">Newton<\/a> s\u2019est pris une pomme sur la poire, on peut m\u00eame affirmer que cet \u00e9cartement \u00e9volue comme une onde qui se propage : les \u00e9quations de Newton permettent de d\u00e9montrer que la variation de l\u2019\u00e9cartement de la corde au cours du temps est directement li\u00e9 \u00e0 la variation de l\u2019\u00e9cartement de la corde tout au long de celle-ci.<\/p>\n<p>Reste qu\u2019il fallut trouver une solution, ce que firent D\u2019Alembert et Euler en prouvant que les solutions de l\u2019\u00e9quation du mouvement d\u2019une corde pouvaient s\u2019exprimer comme la combinaison de deux fonctions p\u00e9riodiques. Une fonction p\u00e9riodique n\u2019est pas forc\u00e9ment une belle vague comme on a souvent tendance \u00e0 les repr\u00e9senter. En fait, elle peut \u00eatre tout \u00e0 fait n\u2019importe quoi sur sa p\u00e9riode pour peu que cette p\u00e9riode justement se r\u00e9p\u00e8te ind\u00e9finiment.<\/p>\n<p><a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/dossiers\/2013\/01\/26\/fourier-transformation\/attachment\/alinea\/\" rel=\"attachment wp-att-2231\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-large wp-image-2231\" alt=\"alinea\" src=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/alinea-590x307.png\" width=\"590\" height=\"307\" \/><\/a><a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/dossiers\/2013\/01\/26\/fourier-transformation\/attachment\/vuvuzelafft\/\" rel=\"attachment wp-att-2234\"><br \/>\n<\/a><\/p>\n<p>Pour autant, les math\u00e9matiques \u00e9tant une science de flemmards, l\u2019envie s\u2019est rapidement fait sentir de raccrocher cela \u00e0 quelque chose de plus simple et bien connu : les sinus et cosinus! <a href=\"http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/History_of_trigonometry\">Ces fonctions sont connues de tr\u00e8s longue date<\/a>, ont le bon go\u00fbt d\u2019\u00eatre p\u00e9riodiques et surtout de former des solutions particuli\u00e8res de l\u2019\u00e9quation des cordes vibrantes. Il n\u2019en fallut pas plus pour que Bernoulli envisage que <strong>toutes<\/strong> les solutions de cette \u00e9quation puissent s\u2019exprimer comme une somme infinie de sinus et cosinus bien choisis.<\/p>\n<p>Mais si ces \u00ab\u00a0<a href=\"http:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/S%C3%A9rie_de_Fourier\">S\u00e9ries de Fourier<\/a>\u00a0\u00bb ne portent pas le nom de Bernoulli, c\u2019est bien parce que cette intuition posait un probl\u00e8me de taille qu\u2019il ne sut r\u00e9soudre. Tout comme on \u00e9tait convaincu que les textes de la pierre de rosette \u00e9taient la traduction du m\u00eame contenu dans diff\u00e9rentes langues sans encore pouvoir \u00e9lucider la mani\u00e8re pour passer d\u2019un langage \u00e0 l\u2019autre, il restait encore \u00e0 trouver comment d\u00e9composer une fonction p\u00e9riodique quelconque en s\u00e9rie de Fourier. Et contrairement \u00e0 la pierre \u00e9gyptienne, la plupart des math\u00e9maticiens de l\u2019\u00e9poque \u00e9taient convaincus que les deux mondes ne co\u00efncidaient pas, que certaines fonctions ne pourraient jamais \u00eatre transcrites en s\u00e9rie de Fourier. Par exemple comment r\u00e9ussir \u00e0 reconstruire une fonction discontinue (qui n\u00e9cessite de lever le crayon pour la tracer) \u00e0 partir d\u2019une somme de fonctions continues (o\u00f9 le crayon reste tout le long pos\u00e9 sur la feuille)? Les habitu\u00e9s du podcast savent d\u00e9j\u00e0 que<a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/dossiers\/2012\/02\/22\/dossier-linfini-quand-il-ny-en-a-plus-il-y-a-cantor\/\"> l\u2019infini permet beaucoup de choses \u00e9tonnantes<\/a>!<\/p>\n<p>En 1822, quand Napol\u00e9on cessa de l\u2019emp\u00eacher de pratiquer les math\u00e9matiques pour l\u2019emmener en \u00c9gypte ou lui donner la charge d\u2019une pr\u00e9fecture, Joseph Fourier pr\u00e9senta dans un article la m\u00e9thode de traduction en s\u00e9rie de Fourier.<\/p>\n<h4>AKOIDONCKESKESASERT?<\/h4>\n<p>Alors c\u2019est bien beau de traduire une fonction math\u00e9matique dans une autre langue math\u00e9matique, mais on est loin de la promesse introductive d\u2019une r\u00e9volution scientifique\u2026 Il est donc plus que temps de d\u00e9tailler \u00e0 quoi peut bien servir cette \u00ab\u00a0transform\u00e9e de Fourier\u00a0\u00bb en l\u2019\u00e9tat.<\/p>\n<p>La plupart des mesures que nous sommes capables de faire d\u00e9pendent du temps :<\/p>\n<ul>\n<li>Un micro mesure la force exerc\u00e9e par les vibrations de l\u2019air sur sa membrane au cours du temps<\/li>\n<li>Une antenne mesure le champ magn\u00e9tique et ses variations au fur et \u00e0 mesure que le temps court<\/li>\n<li>Le laser du DVD, CD et Autre Blu-Ray viens mesurer la profondeur des scillons sur les disques<\/li>\n<li>etc.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Et pourtant, conna\u00eetre l\u2019\u00e9volution temporelle d\u2019une mesure est rarement l\u2019information la plus int\u00e9ressante. L\u2019homme est un animal qui aime les co\u00efncidences, les sch\u00e9mas qui se r\u00e9p\u00e8tent, afin de pouvoir y apposer des r\u00e8gles et tenter une fois de plus de pr\u00e9voir l\u2019avenir! Par exemple, pour v\u00e9rifier ou non une croyance urbaine (<a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/dossiers\/2012\/12\/05\/la-lune-influence-le-sommeil-info-ou-intox\/\">r\u00e9cemment annihil\u00e9e par Alan<\/a>) selon laquelle la lune influence le sommeil, on aurait pu mesurer pendant plusieurs mois les ondes c\u00e9r\u00e9brales des individus et regarder si l\u2019on peut voir quelque chose se r\u00e9p\u00e9ter avec un cycle qui aurait un quelconque rapport avec le cycle de la lune. La t\u00e2che est assez fastidieuse, le cycle de la lune \u00e9tant de 29 jours, il aurait fallu essayer de trouver des liens entre les valeurs des signaux d\u2019ondes c\u00e9r\u00e9brales \u00e9loign\u00e9s de 29 jours, de 58 jours (2 cycles), de 87 jours (3 cycles), etc. Ne sachant bien sur pas quelle allure de la lune influencerait le sommeil et dans quel sens. Une t\u00e2che tr\u00e8s complexe en somme parce que l\u2019information que l\u2019on cherche, des r\u00e9p\u00e9titions selon un certain rythme, s\u2019exprime tr\u00e8s mal dans le monde temporel.<\/p>\n<p>Un autre exemple r\u00e9cent et amusant a \u00e9t\u00e9 observ\u00e9 \u00e0 la coupe du monde de 2010. Chaque match comportait l\u2019aussi traditionnel qu\u2019aga\u00e7ant son de la vuvuzela\u2026<\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" src=\"http:\/\/www.youtube.com\/embed\/dYSoleBRUeU\" height=\"315\" width=\"420\" allowfullscreen=\"\" frameborder=\"0\"><\/iframe><\/p>\n<p>Le Vuvuzela est un instrument de musique et comme tout instrument de musique, il fait vibrer l\u2019air de mani\u00e8re tr\u00e8s r\u00e9guli\u00e8re. Pourtant, je vous mets au d\u00e9fi de retrouver de la r\u00e9gularit\u00e9 dans le bordel du signal temporel de ses vibrations sonores :<\/p>\n<p><a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/dossiers\/2013\/01\/26\/fourier-transformation\/attachment\/vuvuzela_temporel-4\/\" rel=\"attachment wp-att-2235\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" alt=\"vuvuzela_temporel-4\" src=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/vuvuzela_temporel-4-590x225.png\" width=\"590\" height=\"225\" \/><\/a><\/p>\n<p>Heureusement, on conna\u00eet un autre monde, celui des fr\u00e9quences! Au lieu de regarder une mesure \u00e0 chaque instant, on va mesurer les r\u00e9p\u00e9titions pr\u00e9sentes pour un ensemble de p\u00e9riodes. On va regarder les \u00e9v\u00e8nements qui se produisent tous les jours, tous les deux jours, et ainsi de suite. La fr\u00e9quence est justement l\u2019unit\u00e9 de mesure du nombre d\u2019\u00e9v\u00e8nements par seconde : 1 fr\u00e9quence de 1Hz concerne les signaux qui se r\u00e9p\u00e8tent toutes les secondes alors qu\u2019une fr\u00e9quence de 10Hz ceux qui se r\u00e9p\u00e8tent dix fois par seconde. Dans un tel monde, il est trivial de voir si la lune a une influence sur le sommeil, il suffit en effet de regarder aux alentours des fr\u00e9quences multiples de 29 jours si le nombre d\u2019\u00e9v\u00e8nements est plus important qu\u2019ailleurs. Dans la repr\u00e9sentation fr\u00e9quentielle, regarder s\u2019il y a des \u00e9v\u00e8nements particuliers au rythme de la lune est aussi simple que regarder la valeur du signal en un instant sur la repr\u00e9sentation temporelle.<\/p>\n<p>Par exemple, il est trivial de rep\u00e9rer la vuvuzela dans la d\u00e9composition fr\u00e9quentielle du signal pr\u00e9c\u00e9dent, les valeurs les plus fortes se situent autour de 600Hz, avec quelques autres valeurs fortes r\u00e9p\u00e9t\u00e9es r\u00e9guli\u00e8rement \u00e0 c\u00f4t\u00e9, car la vuvuzela n\u2019est pas un instrument parfait.<\/p>\n<p><a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/dossiers\/2013\/01\/26\/fourier-transformation\/attachment\/vuvuzelafft\/\" rel=\"attachment wp-att-2234\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" alt=\"VuvuzelaFFT\" src=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/VuvuzelaFFT-590x225.png\" width=\"590\" height=\"225\" \/><\/a><\/p>\n<p>Fourier a donn\u00e9 au monde le calcul qui permet de passer d\u2019une repr\u00e9sentation temporelle \u00e0 une repr\u00e9sentation fr\u00e9quentielle. Il a donn\u00e9 \u00e0 n\u2019importe qui l\u2019oreille absolue, la capacit\u00e9 de d\u00e9composer n\u2019importe quel signal en notes. Mais attention, pas seulement, parce que les fr\u00e9quences ne sont pas toujours des fr\u00e9quences temporelles. Une fr\u00e9quence indique seulement une r\u00e9p\u00e9tition et elle peut \u00eatre tout autre chose que temporelle. Un domaine qui par exemple utilise \u00e0 outrance la transform\u00e9e de Fourier est le traitement des images. Une image n\u2019est pas un signal temporel, on prend une seule photo \u00e0 un instant donn\u00e9 tr\u00e8s pr\u00e9cis. Quand on appuie sur le bouton de l\u2019appareil photo, l\u2019intensit\u00e9 lumineuse rencontrant chaque pixel est enregistr\u00e9e, ce qui donne une esp\u00e8ce de gigantesque tableau o\u00f9 dans chaque case est enregistr\u00e9e l\u2019intensit\u00e9 lumineuse.<\/p>\n<p>Les r\u00e9gularit\u00e9s qui seront alors susceptibles de nous int\u00e9resser ne seront pas temporelles, mais plut\u00f4t g\u00e9om\u00e9triques. Les images, contrairement aux signaux, ont deux dimensions : la longueur et la largeur. Chercher des r\u00e9p\u00e9titions dans une image consiste donc \u00e0 chercher des choses qui se r\u00e9p\u00e8tent en deux dimensions. En somme, pour faire simple, cela revient, en premi\u00e8re approche, \u00e0 rechercher des rayures. Elles peuvent avoir plusieurs orientations\u00a0et \u00eatre plus ou moins larges.\u00a0Mais contrairement aux z\u00e8bres, on se fout pas mal de savoir si elles sont noires ou blanches! Au lieu d\u2019utiliser les pixels pour d\u00e9crire l\u2019image, on est alors amen\u00e9 \u00e0 utiliser les rayures.<\/p>\n<p><a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/dossiers\/2013\/01\/26\/fourier-transformation\/attachment\/zebresok\/\" rel=\"attachment wp-att-2233\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-large wp-image-2233\" alt=\"zebresok\" src=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/zebresok-590x548.png\" width=\"590\" height=\"548\" \/><\/a><\/p>\n<p>Tout comme l\u2019on d\u00e9crit l\u2019image en expliquant l\u2019intensit\u00e9 lumineuse pr\u00e9sente dans chaque pixel, on d\u00e9taille maintenant l\u2019image en pr\u00e9cisant avec quelle intensit\u00e9 est pr\u00e9sente chaque rayure. Si l\u2019on reprend l\u2019exemple de notre z\u00e8bre, les rayures verticales sont beaucoup plus pr\u00e9sentes que les rayures horizontales.<\/p>\n<p>Comme dans les langues on parle de dictionnaire : le dictionnaire des pixels et celui des rayures. La transform\u00e9e de Fourier est quant \u00e0 elle le dictionnaire de traduction. Et \u00e0 ce jeu des traductions, certaines langues sont plus efficaces que d\u2019autres. Ainsi alors qu\u2019en fran\u00e7ais, on prendrait tout le temps de dire :<\/p>\n<p>\u00ab\u00a0Travaux pr\u00e9paratoires sur la contribution \u00e0 la discussion du syst\u00e8me de maintenance au soutien du mat\u00e9riel du syst\u00e8me de simulation global de l\u2019aviation pour la part nord-est de la c\u00f4te artillerie de la Baltique.\u00a0\u00bb<\/p>\n<p>En su\u00e9dois, on se contente de :<\/p>\n<p>\u00ab\u00a0Nord\u00f6stersj\u00f6kustartilleriflygspaningssimulatoranl\u00e4ggningsmaterielunderhallsuppf\u00f6ljningssystemdiskussionsinl\u00e4ggsf\u00f6rberedelsearbeten.\u00a0\u00bb<\/p>\n<p>Ce qui repr\u00e9sente une \u00e9conomie cons\u00e9quente en nombre de lettres ou en nombre de mots. D\u00e9couvrir une nouvelle langue en math\u00e9matique a directement les m\u00eames cons\u00e9quences, d\u2019autant plus que la langue de Fourier se r\u00e9v\u00e8le parfois terriblement efficace.<\/p>\n<p>Prenons par exemple l\u2019image <a href=\"http:\/\/ndevilla.free.fr\/lena\/\">la plus c\u00e9l\u00e8bre du traitement des images <\/a> que vous avez pu d\u00e9j\u00e0 voir passer dans un Playboy des ann\u00e9es 70. Essayons de la repr\u00e9senter avec une seule rayure. La moiti\u00e9 droite de l\u2019image \u00e9tant plus claire que la moiti\u00e9 gauche, la rayure qui \u00ab\u00a0ressemble\u00a0\u00bb le plus \u00e0 L\u00e9na est une grosse rayure verticale :<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td><a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/dossiers\/2013\/01\/26\/fourier-transformation\/attachment\/2\/\" rel=\"attachment wp-att-2236\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-thumbnail wp-image-2236\" alt=\"2\" src=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/2-150x150.jpg\" width=\"150\" height=\"150\" \/><\/a><\/td>\n<td><a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/dossiers\/2013\/01\/26\/fourier-transformation\/attachment\/lena\/\" rel=\"attachment wp-att-2237\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-thumbnail wp-image-2237\" alt=\"lena\" src=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/lena-150x150.png\" width=\"150\" height=\"150\" \/><\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Je vous accorde que la ressemblance n\u2019est pas frappante. Mais si l\u2019on augmente le nombre de rayures utilis\u00e9es pour la repr\u00e9senter, on arrive tr\u00e8s vite \u00e0 reconna\u00eetre la demoiselle, et ce beaucoup plus vite qu\u2019avec les 250 000 pixels n\u00e9cessaires \u00e0 la d\u00e9crire\u2026<\/p>\n<p><a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/dossiers\/2013\/01\/26\/fourier-transformation\/attachment\/lenafft\/\" rel=\"attachment wp-att-2238\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-2238\" alt=\"lenaFFT\" src=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/lenaFFT.gif\" width=\"512\" height=\"512\" \/><\/a><\/p>\n<p>Ces images sont bien belles, mais comment donc arrive-t-on \u00e0 calculer justement \u00e0 les d\u00e9composer en rayures? Comment on fait pratiquement pour \u00ab\u00a0ajouter des rayures\u00a0\u00bb, c\u2019est justement un des objets de la partie suivante.<\/p>\n<h4>Quand on d\u00e9couvrit qu\u2019il n\u2019existait pas qu\u2019une seule langue<\/h4>\n<p>Parmi les caract\u00e9ristiques d\u2019un math\u00e9maticien typique, apr\u00e8s avoir rencontr\u00e9 la flemmardise, il est temps de rencontrer son go\u00fbt visc\u00e9ral pour la g\u00e9n\u00e9ralisation. Alors quand on lui apporte une deuxi\u00e8me langue, il ne peut se contenter de cela. Comment pourrait-on imaginer un monde avec DEUX langues. Qu\u2019il y en ait z\u00e9ro, une ou une infinit\u00e9 tr\u00e8s bien, mais s\u00fbrement pas deux! \u00c0 la limite on aurait pu en vouloir Pi, mais ce n\u2019est pas un entier.<\/p>\n<p>Du coup, une fois le calcul de la transform\u00e9e de connu donn\u00e9 par Fourier, les scientifiques sont pass\u00e9s par la case g\u00e9n\u00e9ralisation pour finalement exprimer cela comme un cas tr\u00e8s particulier de quelque chose de beaucoup plus g\u00e9n\u00e9ral : la projection.<\/p>\n<p>Vous avez tous d\u00e9j\u00e0 fait une projection. La plus courante chez les non scientifiques est la projection d\u2019ombre. Le soleil ou toute autre source lumineuse envoie ses rayons qui, ne pouvant pas nous passer \u00e0 travers, laissent un morceau de mur noir, formant une ombre. L\u2019ombre alors cr\u00e9e fait perdre \u00e0 l\u2019objet projet\u00e9 son volume et cr\u00e9e parfois des choses du plus bel effet comme l\u2019une des \u0153uvres de <a href=\"http:\/\/www.alternativesquare.com\/portfolio\/british-rubbish-vulgarite-esthetique-du-consumerisme\/\">Tim Noble et Sue Webster<\/a>.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" alt=\"projection de d\u00e9tritus\" src=\"http:\/\/www.alternativesquare.com\/wp-content\/uploads\/2011\/10\/2883705280105101600s600x600q851.jpg\" \/><\/p>\n<p>Dans ce cas, la projection consiste \u00e0 trouver l\u2019objet plan (une ombre) sur un mur dans une certaine direction qui est la plus proche de l\u2019objet en volume. On perd forc\u00e9ment de l\u2019information vu qu\u2019on passe d\u2019un objet en volume \u00e0 un objet plan, mais on t\u00e2che de faire au mieux.<\/p>\n<p>Pour autant, toutes les projections ne font pas perdre de l\u2019information. D\u00e8s votre plus jeune \u00e2ge, vous avez \u00e9t\u00e9 confront\u00e9 \u00e0 une projection qui ne faisait pas perdre d\u2019information : celui de la peinture! Un tr\u00e8s grand nombre de couleurs (je suis tent\u00e9 de dire infini, mais ce foutu monde r\u00e9el reviendra rapidement me contredire) existent et pourtant, vos professeurs de petite section de maternelle, \u00e9cole primaire voire m\u00eame pour certains des beaux arts ne vous ont toujours offert qu\u2019un tr\u00e8s petit nombre d\u2019entre elles. Tr\u00e8s rapidement alors, vous vous \u00eates sans doute rendu compte que cela ne provoquait aucune limitation, on pouvait encore obtenir toutes les couleurs possibles!<\/p>\n<ul>\n<li>Le magenta et le jaune m\u00e9lang\u00e9 \u00e0 \u00e9gale part donnent du vermillon (et pas de l\u2019orange! Non, mais)<\/li>\n<li>Le cyan et le jaune font d\u00e9filer une grande gamme de verts en fonction de la quantit\u00e9 de chacun<\/li>\n<li>Le m\u00e9lange des trois couleurs permet d\u2019obtenir de tr\u00e8s beaux gris color\u00e9s<\/li>\n<\/ul>\n<p>Bref, avec peu de couleur, en jouant sur les dosages, on peut reconstituer n\u2019importe quelle couleur. On peut alors utiliser plusieurs \u00ab\u00a0dictionnaires\u00a0\u00bb qui dans ce cas seront parfois appel\u00e9s palettes.<\/p>\n<p><a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/dossiers\/2013\/01\/26\/fourier-transformation\/attachment\/capture_decran_26_01_13_17_33\/\" rel=\"attachment wp-att-2239\"><br \/>\n<\/a> <a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/dossiers\/2013\/01\/26\/fourier-transformation\/attachment\/capture_decran_26_01_13_17_32\/\" rel=\"attachment wp-att-2240\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-2240\" alt=\"Capture_d'\u00e9cran_26_01_13_17_32\" src=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/Capture_d\u00e9cran_26_01_13_17_32.png\" width=\"582\" height=\"568\" \/><\/a><\/p>\n<p>En math\u00e9matiques, cela fonctionne exactement de la m\u00eame mani\u00e8re. Les objets d\u2019un espace peuvent \u00eatre exactement reconstruits en m\u00e9langeant avec les bons dosages les \u00e9l\u00e9ments d\u2019un dictionnaire. Nos images de tout \u00e0 l\u2019heure ont \u00e9t\u00e9 reconstruites gr\u00e2ce \u00e0 la palette des rayures! Les intensit\u00e9s lumineuses se combinant \u00e0 la perfection pour reconstruire l\u2019image de d\u00e9part.<\/p>\n<p><a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/dossiers\/2013\/01\/26\/fourier-transformation\/attachment\/capture_decran_26_01_13_17_33-2\/\" rel=\"attachment wp-att-2241\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-2241\" alt=\"Capture_d'\u00e9cran_26_01_13_17_33-2\" src=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/Capture_d\u00e9cran_26_01_13_17_33-2.png\" width=\"575\" height=\"548\" \/><\/a><\/p>\n<p>Quand un dictionnaire permet de reconstruire tous les objets de l\u2019espace, on dit qu\u2019il est g\u00e9n\u00e9rateur de celui-ci (on parle en fait de famille g\u00e9n\u00e9ratrice pour les puristes). Et la famille des cosinus et des sinus, utilis\u00e9e dans la transform\u00e9e de Fourier est une famille g\u00e9n\u00e9ratrice des fonctions les plus couramment utilis\u00e9es en sciences. La transform\u00e9e de Fourier n\u2019est en fait qu\u2019une projection, l\u2019ombre qu\u2019aurait la fonction \u00e9tudi\u00e9e sur le mur des ondes et tout cela sans aucune perte!<\/p>\n<p>Mais l\u2019on peut encore pousser la comparaison avec la peinture plus loin. En avan\u00e7ant dans vos connaissances picturales, vous avez d\u00fb remarquer qu\u2019il n\u2019\u00e9tait pas n\u00e9cessaire d\u2019avoir des dizaines de couleurs pour les reconstruire toutes. En fait, il en suffit de 3 : le cyan, le magenta et le jaune. Toute autre couleur est inutile, car elle peut \u00eatre de nouveau fabriqu\u00e9e avec celles-ci. En revanche, il est strictement impossible de reconstruire une couleur primaire gr\u00e2ce aux deux autres. Cette propri\u00e9t\u00e9 d\u2019une \u00ab\u00a0famille\u00a0\u00bb correspond \u00e0 la notion de libert\u00e9 en math\u00e9matique. Un dictionnaire libre n\u2019est constitu\u00e9 que d\u2019\u00e9l\u00e9ments ind\u00e9pendants. La famille de Fourier appartient aussi \u00e0 ce type. Il est strictement impossible de reconstruire l\u2019un des \u00e9l\u00e9ments de la famille Fourier gr\u00e2ce \u00e0 une autre! Cette propri\u00e9t\u00e9 donne un tr\u00e8s grand int\u00e9r\u00eat \u00e0 la transform\u00e9e de Fourier. Il assure que sa d\u00e9composition est unique. Si dans le cas de la vuvuzela de tout \u00e0 l\u2019heure on d\u00e9tecte des \u00e9l\u00e9ments \u00e0 600Hz, cela ne peut pas provenir de la composition de deux autres fr\u00e9quences. Tout comme si l\u2019on utilise uniquement les trois couleurs primaires, un vermillon ne pourra provenir que du m\u00e9lange du magenta et du cyan.\u00a0Alors certes, le dictionnaire de Fourier l\u00e0 est un peu particulier parce qu&#8217;il est infini, mais on ne va pas s&#8217;arr\u00eater \u00e0 un si petit d\u00e9tail!<\/p>\n<p><a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/dossiers\/2013\/01\/26\/fourier-transformation\/attachment\/capture_decran_26_01_13_17_33\/\" rel=\"attachment wp-att-2239\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" alt=\"Capture_d'\u00e9cran_26_01_13_17_33\" src=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/Capture_d\u00e9cran_26_01_13_17_33.png\" width=\"530\" height=\"531\" \/><\/a><\/p>\n<p>Quand on utilise un dictionnaire \u00e0 la fois libre et g\u00e9n\u00e9rateur pour reconstruire un espace on parle de base. Les bases sont particuli\u00e8rement int\u00e9ressantes, car comme nous l\u2019avons vu, elles permettent de d\u00e9crire exactement tous les \u00e9l\u00e9ments \u00e9tudi\u00e9s (elles sont g\u00e9n\u00e9ratrices) et de mani\u00e8re unique (elles sont libres).<\/p>\n<p>Vous devez commencer \u00e0 me voir venir, les bases sont des outils pour d\u00e9crire n\u2019importe quoi et il en existe une infinit\u00e9. La transform\u00e9e de Fourier est la projection d\u2019un signal, d\u2019une image, plus g\u00e9n\u00e9ralement d\u2019une fonction sur le dictionnaire libre et g\u00e9n\u00e9rateur des ondes. Il se pr\u00eate bien \u00e0 l\u2019\u00e9tude des r\u00e9p\u00e9titions, mais ne se pr\u00eate pas \u00e0 tout et chaque base peut avoir une utilit\u00e9 :<\/p>\n<ul>\n<li>Pour compresser des visages, on utilise des dictionnaires de visages (pas forc\u00e9ment libres en fait) comprenant des sortes de sch\u00e9mas de caract\u00e9ristiques des visages<\/li>\n<li>Pour am\u00e9liorer la qualit\u00e9 du scan d\u2019une bande dessin\u00e9e, on sera amen\u00e9 \u00e0 d\u00e9composer cette image en aplat de couleurs. La famille des aplats de couleurs \u00e9tant plus adapt\u00e9e \u00e0 ces dessins souvent plus simples que les photos.<\/li>\n<li>Les vid\u00e9os que vous regardez sont exprim\u00e9s dans une famille de mini-vid\u00e9os o\u00f9 quelques contours se d\u00e9placent. Cela est particuli\u00e8rement adapt\u00e9 \u00e0 des vid\u00e9os o\u00f9 des personnages se d\u00e9placent sur le m\u00eame fond,<\/li>\n<li>etc.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Les possibilit\u00e9s sont infinies et l\u2019on peut construire des bases adapt\u00e9es \u00e0 son besoin. La seule limite \u00e9tant le temps mis pour traduire le message d\u2019un dictionnaire \u00e0 un autre. Limite? Seulement jusqu\u2019au chapitre suivant.<\/p>\n<h4>La cr\u00e9ation du babel fish<\/h4>\n<p>Des d\u00e9couvertes aussi importantes et utiles que la transform\u00e9e de Fourier sont l\u00e9gion dans l\u2019histoire des sciences et cela ne suffit pas \u00e0 d\u00e9mocratiser son utilisation.<\/p>\n<p>Pour une image de 1 300 000 pixels (c\u2019est le nombre de pixels du type d\u2019\u00e9cran le plus r\u00e9pandu), il faut un million de millions d\u2019op\u00e9rations pour calculer la transform\u00e9e de Fourier, soit le carr\u00e9 du nombre de pixels! Ce n\u2019est pas rien et ce n\u2019est en fait pas une op\u00e9ration r\u00e9ellement faisable en temps r\u00e9el. Heureusement, en 1965, Cooley, Watson et Tukey ont trouv\u00e9 une m\u00e9thode pour r\u00e9duire drastiquement le nombre de calculs \u00e0 faire. Passant d\u2019un million de millions d\u2019op\u00e9rations \u00e0 seulement une dizaine de million (soit pratiquement un million fois moins d\u2019op\u00e9rations). Leur algorithme, que l\u2019on appelle la transform\u00e9e de Fourier rapide est r\u00e9ellement ce qui a d\u00e9mocratis\u00e9 la transform\u00e9e de Fourier. C\u2019est l\u2019un des algorithmes de traitement du signal le plus rapide qui existe.<\/p>\n<p>Leur m\u00e9thode de calcul utilise deux principes assez simples (en th\u00e9orie, du moins parce qu\u2019impl\u00e9menter ce type d\u2019algorithme est assez complexe). Le premier est la factorisation, il consiste \u00e0 se rendre compte que pour calculer<\/p>\n<p>3&#215;2+3&#215;4<\/p>\n<p>Il faut 3 op\u00e9rations (deux multiplications et une addition). Alors qu\u2019en factorisant,<\/p>\n<p>3x(2+4)<\/p>\n<p>Il n\u2019en faut plus que deux soit 30% d\u2019am\u00e9lioration! Sur aussi peu d\u2019op\u00e9rations, ce n\u2019est pas grand-chose, mais sur un million de calculs, cela fait un vrai bol d\u2019air! L\u2019autre principe est que le nombre calcul de la transform\u00e9e de Fourier est moins important si l\u2019on subdivise le signal d\u2019\u00e9tude. Ainsi, s\u2019il faut 256 op\u00e9rations pour faire le calcul sur une image de 16 pixels (16&#215;16 op\u00e9rations), il en suffit de 128 si l\u2019on prend le temps de couper l\u2019image en deux (8&#215;8+8&#215;8 op\u00e9rations). En r\u00e9p\u00e9tant ainsi les subdivisions, le nombre d\u2019\u00e9tapes fond! Le plus int\u00e9ressant dans leurs m\u00e9thodes est qu\u2019elle reste utilisable pour un grand nombre de dictionnaires et a donc permis de grandement acc\u00e9l\u00e9rer les algorithmes de traitement du signal.<\/p>\n<p>Le plus amusant l\u00e0-dedans, c\u2019est qu\u2019on se soit demand\u00e9 comment faire moins de calculs quand les machines ont remplac\u00e9 les humains pour les faire\u2026 Entre le r\u00e9sultat de la transform\u00e9e de Fourier tel que Fourier l\u2019a d\u00e9finie, la g\u00e9n\u00e9ralisation donn\u00e9e en l\u2019imaginant comme une projection et le calcul rapide connu dans les ann\u00e9es 70, la transform\u00e9e de Fourier est aujourd\u2019hui l\u2019un des r\u00e9sultats math\u00e9matiques le plus utilis\u00e9s!<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><strong>Pour aller plus loin :\u00a0<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\u00a0<a href=\"http:\/\/www.amazon.fr\/God-Created-The-Integers-Breakthroughs\/dp\/0762419229\/ref=sr_1_2?ie=UTF8&amp;qid=1359218359&amp;sr=8-2\">God created the integers <\/a>de Stephen Hawking\u00a0: Un recueil de grands textes scientifiques avec \u00e0 chaque fois une introduction sur les scientifiques concern\u00e9s. Les textes scientifiques sont r\u00e9serv\u00e9s aux sp\u00e9cialistes, mais les introductions sont accessibles et passionnantes! C&#8217;est dans ce livre que j&#8217;ai d\u00e9couvert que Fourier avait particip\u00e9 \u00e0 l&#8217;exp\u00e9dition qui a permis la d\u00e9couverte de la pierre de Rosette<\/li>\n<li><a href=\"http:\/\/www.amazon.fr\/Les-math%C3%A9maticiens-lAntiquit%C3%A9-XXIe-si%C3%A8cle\/dp\/2842451090\">Les math\u00e9maticiens aux \u00e9ditions Pour la science<\/a> : Plein d&#8217;\u00e9l\u00e9ments sur des grands math\u00e9maticiens. Le texte sur Fourier explique de mani\u00e8re tr\u00e8s claire la transform\u00e9e de Fourier rapide<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"wp-flattr-button\"><a class=\"FlattrButton\" style=\"display:none;\" href=\"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/2013\/01\/podcastscience-116-la-transformee-de-fourier\/\" title=\" PodcastScience 116 : La transform\u00e9e de Fourier\" rev=\"flattr;uid:nicotupe;language:fr_FR;category:text;tags:nicotupe.fr;\">Cet article est une reproduction du dossier que j&#8217;ai \u00e9crit pour\u00a0Podcastscience\u00a0et je vous engage \u00e0 vous abonner \u00e0 ce podcast. Pour les plus flemmards, le texte et l&#8217;audio dans la...<\/a><\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Cet article est une reproduction du dossier que j&#8217;ai \u00e9crit pour\u00a0Podcastscience\u00a0et je vous engage \u00e0 vous abonner \u00e0 ce podcast. 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