{"id":1435,"date":"2013-03-19T10:00:31","date_gmt":"2013-03-19T08:00:31","guid":{"rendered":"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/?p=1435"},"modified":"2013-03-19T11:21:13","modified_gmt":"2013-03-19T09:21:13","slug":"podcastscience-105-zero-et-infini-lhistoire-damour","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/2013\/03\/podcastscience-105-zero-et-infini-lhistoire-damour\/","title":{"rendered":"PodcastScience 105 &#8211; Z\u00e9ro et Infini, l&#8217;histoire d&#8217;amour"},"content":{"rendered":"<p>Cet article est une reproduction du dossier que j&#8217;ai \u00e9crit pour\u00a0<a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/dossiers\/2012\/10\/21\/aux-origines-de-zero\/\">Podcastscience<\/a>\u00a0et je vous engage \u00e0 vous abonner \u00e0 ce podcast. Pour les plus flemmards, le texte et l&#8217;audio dans la suite&#8230;<\/p>\n<iframe loading=\"lazy\" width=\"100%\" height=\"166\" scrolling=\"no\" frameborder=\"no\" src=\"https:\/\/w.soundcloud.com\/player?url=http%3A%2F%2Fapi.soundcloud.com%2Ftracks%2F76812666&player_height=&player_height_multi=&player_width=&player_type=visual&color=&auto_play=&show_comments=&show_user=&buying=&sharing=&download=&show_artwork=&show_playcount=&hide_related=\"><\/iframe>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><a title=\"Si vous avez manqu\u00e9 le d\u00e9but... C'est par l\u00e0!\" href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/dossiers\/2012\/10\/21\/aux-origines-de-zero\/\">Nous avons vu la semaine derni\u00e8re la naissance du z\u00e9ro<\/a> et son arriv\u00e9e en Europe. Je vous \u00e9pargnerai son adolescence, p\u00e9riode toujours rude et dificile\u2026 Passons directement aux amours du nombre! Le z\u00e9ro, si particulier, se devait de trouver un compagnon de math\u00e9matique \u00e0 son image, qui tant\u00f4t fit peur aux hommes puis permit de construire les plus grande th\u00e9ories\u2026<\/p>\n<h3>Rencontres<\/h3>\n<p>A l\u2019\u00e9poque o\u00f9 les Grecs \u00e9taient particuli\u00e8rement effray\u00e9s par le plus nul des deux nombres, Z\u00e9non pr\u00e9sentait un paradoxe que j\u2019avais d\u00e9j\u00e0 \u00e9voqu\u00e9 \u00e0 l\u2019\u00e9poque du dossier sur l\u2019infni. Z\u00e9non imaginait une course entre Achille et une tortue. Sur un circuit de longueur 1, Achille partirait de l\u2019un des bouts alors que la tortue partirait de la moiti\u00e9 du parcours.<\/p>\n<p>Comme Achille est un h\u00e9ros l\u00e9gendaire, on suppose qu\u2019il va deux fois plus vite que la tortue. Si bien que quand il arrive \u00e0 la moiti\u00e9 du parcours, la tortue est aux trois quarts. Quand Achille est finalement aux trois quarts, la tortue est aux 7\/8 et ainsi de suite.<\/p>\n<p>Si bien que la tortue et Achille doivent parcourir une infinit\u00e9 d\u2019intervalles. Alors que le circuit est de taille finie! Les Grecs n\u2019\u00e9taient pas \u00e0 m\u00eame d&#8217;expliquer ce \u201cparadoxe\u201d car ils ne connaissaient pas la notion de limite. Achille partcourt des intervalles de taille 1\/2, 1\/4, 1\/8, 1\/16, etc. Ce qui fait que le chemin parcouru est le r\u00e9sultat de la somme infinie :<\/p>\n<p>S=1\/2+1\/4+1\/8+1\/16+\u2026<\/p>\n<p>Il est vrai qu\u2019additionner une infinit\u00e9 de termes donne souvent un r\u00e9sultat infni. Mais rappelez-vous le dossier sur l\u2019origine du z\u00e9ro: la somme d\u2019une infinit\u00e9 de z\u00e9ro fait z\u00e9ro! En fait, si les termes d\u2019une somme sont de plus en plus petits, leur somme infinie peut avoir une limite finie.<\/p>\n<p>Dans le cas de cette somme, regardons le chemin restant au fur et \u00e0 mesure de l\u2019avanc\u00e9e d\u2019Achille. Quand il arrive \u00e0 la moiti\u00e9, il ne reste plus qu\u2019un demi, quand il passe les 3\/4, il ne reste plus que 1\/4, puis 1\/8, etc. Le chemin restant est de plus en plus petit. On voit donc que 1-S est de plus en plus petite, on dira que la somme S tend vers z\u00e9ro.<\/p>\n<p>Ce paradoxe est l\u2019une des premi\u00e8res rencontres entre z\u00e9ro et l\u2019infini. Ils sont d\u00e9j\u00e0 ins\u00e9parables, jamais une somme infinie ne convergera si ses termes ne tendent pas vers z\u00e9ro. En revanche, toutes les sommes infinies avec des termes de plus en plus petits ont une limite. Prenons par exemple la somme :<\/p>\n<p>S=1+1\/2+1\/3+1\/4+1\/4\u2026.<\/p>\n<p>Chaque terme tend bien vers z\u00e9ro, mais si l\u2019on regroupe les termes de mani\u00e8re astucieuse :<\/p>\n<p>S=1+1\/2+(1\/3+1\/4)+(1\/5+1\/6+1\/7+1\/8)+\u2026<\/p>\n<p>Or, 1\/3+1\/4 est sup\u00e9rieur \u00e0 1\/4+1\/4=1\/2, et 1\/5+1\/6+1\/7+1\/8 est sup\u00e9rieur \u00e0 1\/8+1\/8+1\/8+1\/8=1\/2, et ainsi de suite : chaque terme entre parenth\u00e8se est sup\u00e9rieur \u00e0 1\/2. Si l\u2019on continue de la sorte, on obtient une somme infinie de termes plus grands que 1, la somme ne peut pas \u00eatre finie. Ainsi avec ce paradoxe, le z\u00e9ro et l\u2019infini \u00e9taient d\u2019ores et d\u00e9j\u00e0 intimement li\u00e9s, l\u2019un sans l\u2019autre, on ne pouvait r\u00e9soudre le paradoxe d\u2019Achille et la Tortue.<\/p>\n<h3>Flirt<\/h3>\n<p>Z\u00e9ro et l\u2019infini ont continu\u00e9 un certain moment \u00e0 se tourner autour et parfois ont appris \u00e0 vivre ensemble au sein de th\u00e9ories aussi originales que pratiques. Un des plus beaux flirts du z\u00e9ro et de l\u2019infni se trouve dans la g\u00e9om\u00e9trie projective, une science qui s\u2019int\u00e9resse \u00e0 la d\u00e9formation des figures g\u00e9om\u00e9triques lorsqu\u2019on les projette. Ou encore, qui s\u2019int\u00e9resse \u00e0 l\u2019ombre des objets lorsqu\u2019on les \u00e9claire avec une lampe.<\/p>\n<p>Cette discipline a \u00e9t\u00e9 cr\u00e9\u00e9 alors que le math\u00e9maticien Poncelet \u00e9tait dans une prison russe. Le travail de Poncelet \u00e9tait un h\u00e9ritage des travaux des architectes et artistes de l\u2019\u00e9poque comme L\u00e9onard de Vinci qui venaient de d\u00e9couvrir la perspective pour repr\u00e9senter les sc\u00e8nes en 3D de mani\u00e8re r\u00e9aliste. Dans une sc\u00e8ne dessin\u00e9e en perspective, tout est d\u00e9form\u00e9. Les droites parall\u00e8les ont une intersection et cela ne choque personne, cela parait naturel! Toutes les droites convergent vers un m\u00eame point \u00e0 l\u2019infini, le point de fuite.<\/p>\n<p>La perspective pr\u00e9sentait une vision d\u00e9form\u00e9e du monde et la g\u00e9om\u00e9trie projective s\u2019int\u00e9resse justement aux d\u00e9formations des formes projet\u00e9es sur certaines surfaces. On peut projeter tout sur n\u2019importe quoi. Pour faire de la g\u00e9om\u00e9trie projective chez vous, prenez une lampe-torche et amusez-vous \u00e0 \u00e9clairer le mur. Selon la position de la torche par rapport au mur, vous observerez un cercle, une ellipse, voire m\u00eame une parabole!<\/p>\n<p>Riemann eut l\u2019id\u00e9e d\u2019une projection encore plus \u00e9tonnante pour repr\u00e9senter le plan. Imaginons un ballon de foot transparent pos\u00e9 sur un terrain de foot infini (oui, quitte \u00e0 faire du sport, les math\u00e9maticiens le font sur un terrain infini, \u00e7a expliquera un peu mieux la courbure du terrain dans Olive et Tom).<\/p>\n<p>Le point de contact entre le ballon et le terrain sera appel\u00e9 z\u00e9ro. On peut en effet choisir que cet unique point de contact entre la sph\u00e8re et le plan soit justement l\u2019origine du plan sans faire hurler l\u2019infinit\u00e9 de spectateurs qui observent attentivement la construction Riemanienne. Maintenant que le d\u00e9cor est pos\u00e9, arrive un nouveau protagoniste, une luciole, qui d\u00e9cide de se poser sur le ballon, juste au-dessus du z\u00e9ro, de mani\u00e8re \u00e0 ce que l\u2019origine du plan et l\u2019endroit o\u00f9 s\u2019est pos\u00e9e la luciole soient diam\u00e9tralement oppos\u00e9s.<\/p>\n<p>La nuit tomb\u00e9e, la seule source de lumi\u00e8re est le post\u00e9rieur de la bestiole. Si alors un moustique, attir\u00e9 par la luciole, vient se poser sur le ballon, son ombre sera projett\u00e9e en un endroit du terrain. Plus le moustique sera proche de la luciole et plus l\u2019ombre sera lointaine sur le terrain.<\/p>\n<p>Par cette simple construction, Riemann associe \u00e0 chaque point de la sph\u00e8re un unique point du plan et \u00e0 chaque point du plan un unique point de la sph\u00e8re. N\u2019importe quelle forme g\u00e9om\u00e9trique sera aussi associ\u00e9e. Ainsi, chaque hexagone et pentagone du ballon (oui, car un ballon de foot ne peut uniquement \u00eatre constitu\u00e9 d\u2019hexagones mais \u00e7a c\u2019est une autre histoire) vient lui aussi se projeter sur le plan d\u2019une mani\u00e8re d\u00e9form\u00e9e. Toute la sph\u00e8re &#8211; sauf l\u2019endroit o\u00f9 est la luciole &#8211; correspond \u00e0 un point du plan.<\/p>\n<p>Justement, ce point o\u00f9 a choisi de se poser la luciole est l\u2019\u00e2me-soeur du z\u00e9ro, l\u2019infini. Plus l\u2019insecte se rapproche de la luciole, plus son ombre s\u2019\u00e9loigne, se rapproche de l\u2019infni!<\/p>\n<p>Riemann avait non seulement transform\u00e9 le plan auquel on ajoute l\u2019infini \u00e0 une simple sph\u00e8re. Plus fort encore, certaines op\u00e9rations tr\u00e8s compliqu\u00e9es deviennent tr\u00e8s simples sur la sph\u00e8re. Par exemple, passer \u00e0 l\u2019inverse, la fameuse op\u00e9ration qui \u00e0 x associe 1\/x, correspond tout simplement \u00e0 retourner le ballon! Les plus observateurs remarqueront que nous sommes dans un espace de dimension 2 et que par cons\u00e9quent 1\/x ne veut pas dire grand chose, en fait si en utilisant les nombres complexes que je choisis d\u00e9lib\u00e9r\u00e9ment de ne pas d\u00e9tailler ici. Et donc, dans ce monde merveilleux cr\u00e9\u00e9 par Riemann, on a le droit de diviser par z\u00e9ro, 1\/0=infity. Z\u00e9ro et l\u2019infini deviennent deux points sym\u00e9triques sur une sph\u00e8re, on peut ais\u00e9ment remplacer l\u2019un par l\u2019autre gr\u00e2ce \u00e0 une simple rotation!<\/p>\n<p>Cette construction est tr\u00e8s utile en m\u00e9canique quantique par exemple o\u00f9 la droite projective (projection d\u2019une droite qui passe par z\u00e9ro) correspond aux \u00e9tats de polarisation du photon mais je ne m\u2019\u00e9garerai pas \u00e0 en dire plus dans ce dossier focalis\u00e9 sur l\u2019histoire d\u2019amour entre le z\u00e9ro et l\u2019infini.<\/p>\n<h3>Mariage<\/h3>\n<p>Comme tout beau conte, on en vient un jour au mariage. C\u2019est un des principes les plus \u00e9tonnants de l\u2019histoire des sciences qui scellera \u00e0 jamais leur union : le principe d\u2019incertitude de Heisenberg. Ce principe est un rare exemple dans les sciences de majoration. Il \u00e9nonce que le produit de l\u2019erreur de mesure de la vitesse par l\u2019erreur de mesure de la position d\u2019un m\u00eame objet ne peut \u00eatre inf\u00e9rieure \u00e0 une constante. En d\u2019autre termes, on ne peut pas conna\u00eetre avec une parfaite exactitude la position et la vitesse d\u2019une particule.<\/p>\n<p>Ainsi, si l\u2019on conna\u00eet avec une pr\u00e9cision parfaite la position d\u2019une particule (une erreur nulle de mesure), l\u2019erreur de mesure de la vitesse sera forc\u00e9ment infinie. Un monde o\u00f9 le z\u00e9ro est pr\u00e9sent ne peut exclure l\u2019infini!<\/p>\n[Dessin du mariage de l\u2019infini et du z\u00e9ro]\n<p>Imaginons alors que l\u2019on enferme des particules dans une bo\u00eete de 1m de cot\u00e9, on conna\u00eetra alors leur position \u00e0 1m pr\u00e8s. Imaginons maintenant que nous r\u00e9duisions cette boite. Plus on r\u00e9duit la boite, plus on conna\u00eet pr\u00e9cis\u00e9ment la mesure de la position des particules qu\u2019elle contient et moins l\u2019on connait leur vitesse, par le principe de Heisenberg. Tout cela jusqu\u2019\u00e0 aller \u00e0 une constatation un peu folle : une fois que la boite est r\u00e9duite \u00e0 un point, elle ne peut rien contenir, seulement du vide, et en ce point pr\u00e9cis, on ne peut connaitre la vitesse, elle peut aussi bien \u00eatre finie qu\u2019infinie\u2026 Or gr\u00e2ce \u00e0 la fameuse \u00e9quation d\u2019Einstein E=mc2, on sait que la vitesse c\u2019est de l\u2019Energie et cette \u00e9nergie c\u2019est l\u2019Energie du Vide!<\/p>\n<p>Il est tr\u00e8s dur d\u2019accepter que le vide puisse avoir une \u00e9nergie et beaucoup de physiciens \u00e9ludaient ce \u201cprobl\u00e8me\u201d jusqu\u2019\u00e0 ce qu\u2019un certain Casimir (rien \u00e0 voir avec l\u2019ile aux enfants, on parle ici de Hendrick B.G. Casimir) la mette en \u00e9vidence.<\/p>\n<p>Pour expliquer que le vide puisse avoir une \u00e9nergie, des particules doivent pouvoir apparaitre et dispara\u00eetre intantan\u00e9ement un peu n\u2019importe o\u00f9 n\u2019importe quand. Pour mettre ce ph\u00e9nom\u00e8ne en \u00e9vidence, Casimir pla\u00e7a deux plaques dans du vide. Il les pla\u00e7a tellement proches que certaines particules ne pouvaient pas y apparaitre du fait de leur longueur d\u2019onde. Le d\u00e9ficit de particules au milieu des plaques par rapport \u00e0 l\u2019ext\u00e9rieur fit que les plaques se rapproch\u00e8rent. Tout cela alors qu\u2019on \u00e9tait en plein milieu du vide! L\u2019energie du vide existait donc bien.<\/p>\n<p>Voila la fin de la romance du z\u00e9ro et de l\u2019infini, comme toute histoire, il y aurait bien d\u2019autres choses \u00e0 conter mais il faut savoir s\u2019arr\u00eater : le vide et l\u2019infni ne peuvent vivre l\u2019un sans l\u2019autre et gr\u00e2ce \u00e0 cet union, m\u00eame le vide poss\u00e8de une \u00e9nergie!<\/p>\n<p><strong>Sources :<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\u201c<a href=\"http:\/\/www.amazon.com\/Zero-Biography-Dangerous-Charles-Seife\/dp\/0140296476\">Zero : biography of a dangerous idea<\/a>\u201d de Charles Seife : LE livre gr\u00e2ce auquel j\u2019ai construit ce dossier, tout simplement.<\/li>\n<li>\u201c<a href=\"http:\/\/www.amazon.com\/Book-Nothing-Vacuums-Origins-Universe\/dp\/0375726098\/ref=sr_1_1?s=books&amp;ie=UTF8&amp;qid=1350832715&amp;sr=1-1&amp;keywords=void+barrow\">The book of nothing : Vacuum, Voids, and the lastest ideas about the origins of the universe<\/a>\u201d de John D. Barrow<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"wp-flattr-button\"><a class=\"FlattrButton\" style=\"display:none;\" href=\"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/2013\/03\/podcastscience-105-zero-et-infini-lhistoire-damour\/\" title=\" PodcastScience 105 &#8211; Z\u00e9ro et Infini, l&#8217;histoire d&#8217;amour\" rev=\"flattr;uid:nicotupe;language:fr_FR;category:text;tags:nicotupe.fr;\">Cet article est une reproduction du dossier que j&#8217;ai \u00e9crit pour\u00a0Podcastscience\u00a0et je vous engage \u00e0 vous abonner \u00e0 ce podcast. Pour les plus flemmards, le texte et l&#8217;audio dans la...<\/a><\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Cet article est une reproduction du dossier que j&#8217;ai \u00e9crit pour\u00a0Podcastscience\u00a0et je vous engage \u00e0 vous abonner \u00e0 ce podcast. Pour les plus flemmards, le texte et l&#8217;audio dans la suite&#8230; &nbsp; Nous avons vu la semaine derni\u00e8re la naissance du z\u00e9ro et son arriv\u00e9e en Europe. 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