{"id":1787,"date":"2013-06-13T22:47:21","date_gmt":"2013-06-13T20:47:21","guid":{"rendered":"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/?p=1787"},"modified":"2013-06-13T22:49:56","modified_gmt":"2013-06-13T20:49:56","slug":"podcastscience-134-un-echantillon-de-theorie-dinformation-le-theoreme-de-shannon-nyquist","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/2013\/06\/podcastscience-134-un-echantillon-de-theorie-dinformation-le-theoreme-de-shannon-nyquist\/","title":{"rendered":"PodcastScience 134 : Un \u00e9chantillon de th\u00e9orie d&#8217;information : le th\u00e9or\u00e8me de Shannon-Nyquist."},"content":{"rendered":"<p>Ceci est une reproduction de mon dossier PodcastScience, je vous invite \u00e0 aller le consulter sur le site directement mais pour les plus fl\u00e9mards, audio et \u00e9crit ci dessous&#8230;<\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" width=\"100%\" height=\"166\" scrolling=\"no\" frameborder=\"no\" src=\"https:\/\/w.soundcloud.com\/player\/?url=http%3A%2F%2Fapi.soundcloud.com%2Ftracks%2F95799253&#038;show_artwork=false\"><\/iframe><\/p>\n<p>Il y a 470 jours, pour mes premi\u00e8res bafouilles dans PodcastScience, <a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/dossiers\/2012\/02\/22\/dossier-linfini-quand-il-ny-en-a-plus-il-y-a-cantor\/\">je vous pr\u00e9sentais le plus simplement du monde l\u2019infini<\/a>\u2026 ou plut\u00f4t devrais-je dire LES infinis! A cette occasion la plupart d\u2019entre vous ont en effet sans doute d\u00e9couvert qu\u2019il existe un sacr\u00e9 paquet d\u2019infinis, tous plus \u201cgrands\u201d que les uns que les autres. Par exemple, nous v\u00eemes que m\u00eame avec une infinit\u00e9 d\u2019\u00e9pisodes de ce doux podcast, il serait bien impossible de parler de tout.<\/p>\n<p>Sans vouloir entrer dans l\u2019autobiographie, <a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/dossiers\/2012\/03\/14\/dossier-pi\/\">mon second dossier pr\u00e9senta le nombre Pi<\/a>, ce nombre terriblement banal. Bien plus en tout cas que ces chiffres qui vous paraissent tant communs : 1, 2, 3 sont en fait des \u00e9l\u00e9ments tellement rares qu\u2019on devrait les encadrer! Pi est tr\u00e8s commun et comme la plupart des nombres (\u201cpresque tous\u201d dirait-on en termes math\u00e9matiques), il est incalculable. C\u2019est justement ce que je vous pr\u00e9sentais dans mon troisi\u00e8me dossier.<\/p>\n<p><a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/emission\/2012\/04\/18\/podcast-science-82-les-algorithmes-ou-lhistoire-de-la-recette-de-cuisine\/\">Ce dossier sur les algorithmes<\/a> pr\u00e9sentait un morceau de l\u2019histoire de l\u2019algorithmique, cette th\u00e9orie derri\u00e8re les ordinateurs. Ce monde o\u00f9 le nombre d\u2019op\u00e9rations possibles est un infini <em>d\u00e9nombrable<\/em>. Alors que le monde dans lequel on \u00e9volue est continu, nos armes pour le comprendre sont discr\u00e8tes. Repr\u00e9senter le monde analogique\/continu avec le num\u00e9rique\/discret, c\u2019est comme essayer de jouer au pianola un morceau \u00e9crit pour un violon, une id\u00e9e qui n\u2019est m\u00eame pas pass\u00e9 dans l\u2019esprit fou de <a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/dossiers\/2013\/05\/02\/musique-orgasme-et-transmission-sans-fil-hedy-lamarr-et-george-antheil\/\">George Antheil<\/a>!<\/p>\n<p>C\u2019est justement ce pari impossible qui nous int\u00e9resse aujourd\u2019hui! Comment peut-on avec des outils discrets, d\u00e9nombrables, repr\u00e9senter le monde continu? En d\u2019autres termes, est-il possible de finalement jouer avec un piano toute la vari\u00e9t\u00e9 des sons que nous offre un violon. Cette probl\u00e9matique est la cl\u00e9 du monde num\u00e9rique qui nous envahit aujourd\u2019hui. Sans cela, les ordinateurs, le t\u00e9l\u00e9phone ou tous ces objets num\u00e9riques qui nous entourent n\u2019auraient pas connus l\u2019essor qu\u2019ils ont actuellement.<\/p>\n<h2>De pourquoi il y a un probl\u00e8me<\/h2>\n<p>Au del\u00e0 de ces divagations autobio-schyzophr\u00e9no-psycholo-graphiques, le probl\u00e8me qui s\u2019est pos\u00e9 \u00e0 Shannon et \u00e0 d\u2019autres avant lui, est de r\u00e9ussir \u00e0 capter toute la vari\u00e9t\u00e9 d\u2019un signal continu en ne prenant que quelques \u00e9chantillons. Une image num\u00e9rique par exemple est constitu\u00e9e de pixels. Dans chacun de ces pixels, on a repr\u00e9sent\u00e9 l\u2019intensit\u00e9 lumineuse capt\u00e9e dans un petit carr\u00e9. En premi\u00e8re approximation, on peut consid\u00e9rer que c\u2019est l\u2019intensit\u00e9 lumineuse en un point de l\u2019espace. Or le signal lumineux qui arrive sur le capteur est lui d\u00e9fini dans tout l\u2019espace. En somme, votre appareil photo num\u00e9rique est en train de regarder le monde \u00e0 travers une rape \u00e0 fromage et pourtant il arrive \u00e0 reconstituer sans trop de probl\u00e8mes le monde qui l\u2019entoure!<\/p>\n<p><a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/?attachment_id=2612\" rel=\"attachment wp-att-2612\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-large wp-image-2612\" alt=\"yeuxrap\" src=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/wp-content\/uploads\/2013\/06\/yeuxrap-590x834.jpg\" width=\"590\" height=\"834\" \/><\/a><\/p>\n<p>En math\u00e9matiques, ce type de probl\u00e8mes est \u00e0 caser dans la cat\u00e9gorie des probl\u00e8mes \u201cmal pos\u00e9s\u201d. Il n\u2019y a en gros que deux possibilit\u00e9s :<\/p>\n<ul>\n<li>Soit un probl\u00e8me est bien pos\u00e9 et alors il a une unique solution.<\/li>\n<li>Soit on a pas de r\u00e9ponse \u00e0 un probl\u00e8me et alors le plus souvent il est \u201cmal pos\u00e9\u201d.Reprenons le cas de la rape \u00e0 gruy\u00e8re. Si vous regardez \u00e0 travers une rape \u00e0 gruy\u00e8re, certaines parties de votre environnement sont cach\u00e9es par celles-ci. Imaginons alors que nous cachions derri\u00e8re la rape vos cl\u00e9s (on perd toujours ses cl\u00e9s). Alors vous serez bien incapable de diff\u00e9rencier une sc\u00e8ne avec vos cl\u00e9s d\u2019une sc\u00e8ne sans.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Deux sc\u00e8nes diff\u00e9rentes donnent le m\u00eame jeu d\u2019\u00e9chantillons (on voit la m\u00eame chose dans les trous de la r\u00e2pe), il est donc bien impossible de d\u00e9terminer quelle \u00e9tait vraiment la bonne sc\u00e8ne, savoir si vous cl\u00e9s \u00e9taient l\u00e0 ou pas. Conclusion (ce n\u2019est pas le th\u00e9or\u00e8me de Shannon), ne mettez pas une rape de gruy\u00e8re devant votre visage pour chercher vos cl\u00e9s.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h2>Ce qu\u2019a VRAIMENT montr\u00e9 Shannon<\/h2>\n<p>Alors c\u2019est bien beau de ne prendre que quelques \u00e9chantillons par ici par l\u00e0, mais cela ne suffit pas \u00e0 reconstruire comme il faut le monde qui nous entoure. Il faut dire que cacher les cl\u00e9s justement l\u00e0 o\u00f9 on notre vision est cach\u00e9e par une r\u00e2pe jusdicieusement pos\u00e9e devant nos yeux est un peu pervers et n\u00e9cessite surtout des petites cl\u00e9s. Arrivent alors des grands esprits comme on en rencontre r\u00e9guli\u00e8rement dans PoscastScience : Shannon et avant lui Nyquist. Ceux-ci ont d\u00e9termin\u00e9, pour une r\u00e2pe \u00e0 fromage donn\u00e9e, la taille de cl\u00e9s minimale d\u00e9tectable!<\/p>\n<p>Ce probl\u00e8me d\u2019\u00e9chantillonnage est des plus int\u00e9ressant, car le plus complexe \u00e9tait de choisir des hypoth\u00e8ses \u00e0 la fois simples et g\u00e9n\u00e9rales et non de d\u00e9montrer le r\u00e9sultat. En effet il y a une bonne infinit\u00e9 possible de choix (je vous laisse d\u00e9terminer si elle est d\u00e9nombrable ou ind\u00e9nombrable) :<\/p>\n<ul>\n<li>Si la rape n\u2019a qu\u2019un \u00e9norme trou de taille infini, on voit tout (OK dans ce cas la r\u00e2pe n\u2019existe pas trop\u2026)<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li>Si les cl\u00e9s sont de taille infinie dans toutes les directions (une sorte de plateau de taille infinie), tant que la rape a au moins un trou, on les voit (certes les cl\u00e9s ne sont pas tr\u00e8s transportables dans ce cas\u2026)<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li>Si les cl\u00e9s sont d\u2019une longueur infinie (dans une seule direction, sorte de javelot infini des deux cot\u00e9s\u2026) et si les trous de la r\u00e2pe sont en fait des lignes non parall\u00e8les, on verra bien les cl\u00e9s (r\u00e9alisme, quand tu nous tiens\u2026)<\/li>\n<\/ul>\n<ul>\n<li>Si la rape n\u2019a qu\u2019un seul trou qui pointe vers le centre des cl\u00e9s, il verra les cl\u00e9s (il faut \u00eatre pr\u00e9cis\u2026)<\/li>\n<li>etc.Tous ces r\u00e9sultats sont vrais, mais ils sont soit trop restreints, soit irr\u00e9alistes, soit un peu des deux, autant dire inutilisables!<\/li>\n<\/ul>\n<p>Shannon et Nyquist ont tous les deux utilis\u00e9 une notion \u00e0 la fois plus simple et universelle : la notion de fr\u00e9quence. Depuis <a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/dossiers\/2013\/01\/26\/fourier-transformation\/\">le dossier sur la Transform\u00e9e de Fourier<\/a> (damned, tout est li\u00e9!), vous savez qu\u2019on peut \u00e9crire n\u2019importe quel son, n\u2019importe quelle image ou plus g\u00e9n\u00e9ralement n\u2019importe quel signal dans l\u2019espace des fr\u00e9quences comme on traduirait n\u2019importe quel texte d\u2019une langue \u00e0 l\u2019autre. La langue fr\u00e9quentielle est faite de sinuso\u00efdes, ces m\u00eames fonctions trigonom\u00e9triques aux propri\u00e9t\u00e9s remarquables qui nous ont tous traumatis\u00e9es dans notre jeunesse.<\/p>\n<p>Une sinuso\u00efde sert \u00e0 repr\u00e9senter l\u2019\u00e9volution d\u2019un morceau de gruy\u00e8re rest\u00e9 coinc\u00e9 sur notre rape circulaire (comment \u00e7a votre rape n\u2019est pas circulaire?). Ainsi pour rep\u00e9rer le bout de gruy\u00e8re sur la r\u00e2pe, on utilise le cosinus repr\u00e9sente son \u00e9cart par rapport au centre sur l\u2019horizontale (le sens de la table) alors que le sinus son \u00e9cart par rapport au centre sur la verticale (de haut en bas).<\/p>\n<p><a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/?attachment_id=2611\" rel=\"attachment wp-att-2611\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-large wp-image-2611\" alt=\"gruyereTriste-01\" src=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/wp-content\/uploads\/2013\/06\/gruyereTriste-01-590x572.png\" width=\"590\" height=\"572\" \/><\/a><\/p>\n<p>Apr\u00e8s une s\u00e9ance intensive de rape, alors que la jolie vous laisse le soin de nettoyer l\u2019objet, positionnez votre rape circulaire telle que le morceau de gruy\u00e8re vienne d\u00e9licatement caresser la table et faites tourner! Au bout d\u2019un quart de tour, le morceau de gruy\u00e8re fera face \u00e0 la fen\u00eatre (si vous avez une fen\u00eatre dans sa direction), en tout cas, le centre de la rape et le morceau seront parall\u00e8les \u00e0 la table. Le sinus vaut alors z\u00e9ro. Quand la rape aura fait un demi-tour, le morceau de gruy\u00e8re vous fera face en pointant vers le haut (ne prenez pas cela comme une provocation et laissez le en place, on va encore en avoir besoin). C\u2019est maintenant le cosinus qui vaut z\u00e9ro comme au d\u00e9but de cette p\u00e9rilleuse exp\u00e9rience. Enfin, transpirant, quand vous avez enfin fait faire un tour \u00e0 la rape, le morceau de gruy\u00e8re sera revenu \u00e0 sa place initiale, carressant de nouveau avec tendresse la table.<\/p>\n<p>Votre ch\u00e8re et tendre, qui vous avait laiss\u00e9 au d\u00e9but de l\u2019exp\u00e9rience, le morceau de gruy\u00e8re contre la table, fait alors son grand retour pour v\u00e9rifier si vous avez fini de nettoyer cette foutue rape! Elle vous trouve dans la position o\u00f9 elle vous avait laiss\u00e9 et il vous est bien impossible de prouver que la rape a tourn\u00e9, les deux positions \u00e9tant identiques! Ne prendre qu\u2019un \u00e9chantillon par p\u00e9riode, comme l\u2019a fait votre amie ne permet absolument pas de retrouver l\u2019int\u00e9gralit\u00e9 de la sinuso\u00efde, de la rotation de la r\u00e2pe. De m\u00eame, si celle-ci avait tent\u00e9 d\u2019entrer alors que le gruy\u00e8re vous faisait face au sommet de la rape, elle aurait \u00e9t\u00e9 bien en mal de savoir dans quel sens avait tourn\u00e9 l\u2019ustensile de cuisine.<\/p>\n<p>En fait, le th\u00e9or\u00e8me de Shannon-Nyquist, montre que pour un signal dont la d\u00e9composition fr\u00e9quentielle ne comporte pas de fr\u00e9quences de plus de N hertz, il faut prendre au moins 2N \u00e9chantillons par seconde pour parvenir \u00e0 reconstruire exactement le signal. Mais le plus fou de ce th\u00e9or\u00e8me n\u2019est pas tant qu\u2019il faille prendre 2N ou m\u00eame plus d\u2019\u00e9chantillons, c\u2019est qu\u2019avec cette m\u00e9prisable infinit\u00e9 d\u00e9nombrable d\u2019\u00e9chantillons, on reconstruit <strong>exactement<\/strong> l\u2019infinit\u00e9 continue des signaux \u00e0 bande limit\u00e9e! Donc si un signal ne d\u00e9passe pas certaines fr\u00e9quences, on pourra, avec un taux d\u2019\u00e9chantillonnage bien choisi, l\u2019\u00e9chantillonner sans pertes.<\/p>\n<p>Une oreille humaine justement n\u2019entend que les sons compris entre 20 et 20 000 Hz, ainsi, selon le th\u00e9or\u00e8me de Shannon-Nyquist, si on mesure l\u2019intensit\u00e9 sonore 40 000 fois par seconde, on pourra reconstruire exactement (c\u2019est \u00e0 dire sans pertes, sans aucune erreur) le signal audible de d\u00e9part! Vous venez de comprendre pourquoi un WAV prend 44100 \u00e9chantillons par seconde!<\/p>\n<h2>Hors la loi<\/h2>\n<p>Un th\u00e9or\u00e8me math\u00e9matique est vrai sous certaines r\u00e8gles, et quand on a des r\u00e8gles, il n\u2019y a rien de plus jouissif que de s\u2019amuser \u00e0 les transgresser, pour voir! Que se passe-t-il donc si l\u2019on \u00e9chantillonne trop lentement?<\/p>\n<p>Reprenons notre rape, si votre \u201cpetit lapin en aspartame\u201d \u00e9tait rentr\u00e9 apr\u00e8s un tour et quart, elle aurait vu le morceau de gruy\u00e8re dans la m\u00eame position que si la rape avait seulement fait un quart de tour. En fait, toutes les fr\u00e9quences qui d\u00e9passent la demi-fr\u00e9quence d\u2019\u00e9chantillonnage (appel\u00e9e aussi fr\u00e9quence de Shannon-Nyquist), sont tout simplement soustraites par cette m\u00eame fr\u00e9quence de Shannon-Nyquist un nombre de fois suffisant pour entrer dans cet intervalle. C\u2019est-\u00e0-dire que si la fr\u00e9quence de rotation de la rape est d\u2019un tour par minute (1\/60 Hz, vous \u00eates tr\u00e8s concentr\u00e9s) et que, comme dans le premier exemple, vous regardez la position du morceau de gruy\u00e8re aussi une fois par minute (1\/60 Hz), la fr\u00e9quence \u201cper\u00e7ue\u201d est de :<\/p>\n<p>1\/60 &#8211; (1\/60)\/2-(1\/60)\/2 = 0 Hz! On a l\u2019impression que la rape ne bouge pas.<\/p>\n<p>C\u2019est cet effet que l\u2019on observe sur les roues des voitures lors des courses poursuites. Une cam\u00e9ra prend 25 images par seconde. Si la roue de la voiture fait 25 tours par seconde (en gros 230km\/h), la cam\u00e9ra verra toujours la roue dans la m\u00eame position : on aura l\u2019impression que la roue ne bouge pas. Si par contre, elle va un peu moins vite, la roue paraitra aller en sens inverse et si elle va plus vite, elle paraitre avancer tr\u00e8s lentement!<\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" src=\"http:\/\/www.youtube.com\/embed\/jHS9JGkEOmA\" height=\"315\" width=\"420\" allowfullscreen=\"\" frameborder=\"0\"><\/iframe><\/p>\n<p>En d\u2019autres termes, l\u2019\u00e9chantillonnage se traduit dans l\u2019espace des fr\u00e9quences par une translation. Alors quand il y a des fr\u00e9quences hors du domaine admissible par Shannon-Nyquist, elles sont \u201crepli\u00e9es\u201d sur les fr\u00e9quences acceptables. Cela provoque des effets basse fr\u00e9quence ind\u00e9sirables. Ces effets sont tr\u00e8s r\u00e9guli\u00e8rement pr\u00e9sents dans les vid\u00e9os. <a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/dossiers\/2013\/01\/26\/fourier-transformation\/\">Comme on a vu dans l\u2019\u00e9pisode sur la transform\u00e9e de Fourier<\/a>, les sinuso\u00efdes dans les images sont assimilables \u00e0 des rayures. Ainsi, une haute fr\u00e9quence repli\u00e9e dans les basses fr\u00e9quences sera une rayure plus \u00e9largie. C\u2019est exactement l\u2019effet que vous pouvez constater dans certaines images o\u00f9 vid\u00e9o : un effet de marche d\u2019escalier sur les contours ou des rayures parasites apparaissant sur des zones de l\u2019image o\u00f9 il y a justement de rayures. On appelle cet effet \u201caliasing\u201d ou \u201crepliement de spectre\u201d.<\/p>\n<figure id=\"attachment_2601\" aria-describedby=\"caption-attachment-2601\" style=\"width: 590px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/?attachment_id=2601\" rel=\"attachment wp-att-2601\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-large wp-image-2601\" alt=\"Exemple de repliement de spectre dans une image.\" src=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/wp-content\/uploads\/2013\/06\/aliasing-590x383.jpg\" width=\"590\" height=\"383\" \/><\/a><figcaption id=\"caption-attachment-2601\" class=\"wp-caption-text\">Exemple de repliement de spectre dans une image.<\/figcaption><\/figure>\n<p>Dans les images comme dans les sons, l\u2019\u00e9chantillonnage se traduit dans l\u2019espace des fr\u00e9quences comme une translation. Le th\u00e9or\u00e8me de Shannon-Nyquist se transpose alors en demandant \u00e0 l\u2019image d\u2019avoir un spectre qui ne se replie pas sur lui m\u00eame. Le spectre des images, comme les images elles-m\u00eames sont d\u00e9finies sur un plan. La fr\u00e9quence de Shannon deviens alors un \u201cdomaine de Shannon\u201d c\u2019est a dire un domaine du plan spectral acceptable. Le probl\u00e8me de l\u2019\u00e9chantillonnage correspond alors en somme de trouver une bonne fa\u00e7on de carreler le sol! Quel que soit la forme du domaine spectral r\u00e9p\u00e9t\u00e9 sur le carrelage, l\u2019important est qu\u2019il ne se superpose pas sur lui m\u00eame lorsque l\u2019on effectue une periodisation infinie! On arrive alors comme cela \u00e0 acqu\u00e9rir des rayures bien plus fines que ce que permettrait Shannon pour les signaux \u00e0 une dimension gr\u00e2ce \u00e0 une analyse g\u00e9om\u00e9trique!<\/p>\n<h2>Depuis Shannon<\/h2>\n<p>Cette qu\u00eate pour \u201cd\u00e9passer Shannon\u201d ne cesse d\u2019occuper les math\u00e9maticiens. En particulier, le choix des hypoth\u00e8ses sur la rape et les cl\u00e9s sont particuli\u00e8rement discut\u00e9es. En particulier, j\u2019ai commenc\u00e9 mon propos en parlant de jouer du violon avec un piano, regardons justement de plus pr\u00e8s ce piano!<\/p>\n<p>Comme tout son audible, les fr\u00e9quences \u00e9mises par un piano sont bien limit\u00e9es comme le demande le th\u00e9or\u00e8me de Shannon-Nyquist. Mais est-ce que consid\u00e9rer que les fr\u00e9quences qu\u2019il produit peuvent \u00eatre continument \u00e9tal\u00e9es le long des fr\u00e9quences est bien r\u00e9aliste? Un piano n\u2019est finalement qu\u2019un ensemble bien d\u00e9termin\u00e9 de notes, un petit ensemble discret de fr\u00e9quences. En po\u00e9sie math\u00e9maticienne, on parle de parcimonie. Alors, lorsque l\u2019on \u00e9chantillonne l\u2019intensit\u00e9 sonore, on peut justement chercher quelles notes de piano ont pu produire ces \u00e9chantillons au lieu de plus g\u00e9n\u00e9ralement chercher quel son a produit ces \u00e9chantillons.<\/p>\n<p>Ce probl\u00e8me est mieux pos\u00e9, il demande en fait moins d\u2019\u00e9chantillons gr\u00e2ce \u00e0 la redondance! On vit en permanence avec de la redondance. Les langues par exemple, sont tr\u00e8s redondantes, Shannon a m\u00eame calcul\u00e9 en son temps que l\u2019anglais \u00e9tait \u00e0 50%. Une information redondante est une information qui vient forc\u00e9ment avec une autre comme pour un pl\u00e9onasme : \u201cmonter en haut\u201d ne contient pas plus d\u2019information que \u201cmonter\u201d alors il est inutile d\u2019entendre tous les mots pour comprendre.<br \/>\nCeci est une reproduction de <a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/dossiers\/2013\/06\/13\/un-echantillon-de-theorie-dinformation-le-theoreme-de-shannon-nyquist\/\">mon dossier PodcastScience 134 <\/a>que je vous invite \u00e0 aller consulter sur PodcastScience directement. Pour les plus fl\u00e9mards, audio et \u00e9crit ci-dessous&#8230;<\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" width=\"100%\" height=\"166\" scrolling=\"no\" frameborder=\"no\" src=\"https:\/\/w.soundcloud.com\/player\/?url=http%3A%2F%2Fapi.soundcloud.com%2Ftracks%2F95799253&#038;show_artwork=false\"><\/iframe><\/p>\n<p>Des techniques r\u00e9centes d\u2019\u00e9chantillonnage visent \u00e0 utiliser ces redondances dans les signaux \u00e0 mesurer pour utiliser beaucoup moins d\u2019\u00e9chantillons que ce que pr\u00e9coniserait le th\u00e9or\u00e8me de Shannon-Nyquist. Il s\u2019agit en particulier d\u2019acqu\u00e9rir le signal dans le langage le plus diff\u00e9rent du langage dans lequel le signal est parcimonieux. Alors que le message \u00e0 retrouver n\u2019utilisera que peu de mots dans sa langue la plus efficace, il utilisera tellement de mots dans la langue d\u2019acquisition qu\u2019avec peu d\u2019\u00e9chantillons on aura suffisamment d\u2019informations pour le retrouver!<\/p>\n<p>Bref, on a pas fini d\u2019entendre parler d\u2019\u00e9chantillonnage mais on d\u00e9taillera une autre fois ces m\u00e9thodes d\u2019\u00e9chantillonnages plus r\u00e9centes!<\/p>\n<p><em>Bibliographie et pour aller plus loin :<\/em><\/p>\n<ul>\n<li>L\u2019article de Shanon qui a tout lanc\u00e9 : Pas forc\u00e9ment compr\u00e9hensible dans ses d\u00e9tails par tout le monde mais \u00e0 la lecture de ce dossier vous devriez comprendre les grandes id\u00e9es.<\/li>\n<li>50 years after Shanon : pareil que le pr\u00e9c\u00e9dent pour la compr\u00e9hension mais vaut la lecture pour r\u00e9aliser tout ce qui s\u2019est fait depuis ce th\u00e9or\u00e8me et comment la science et en particulier les math\u00e9matiques appliqu\u00e9s \u00e9voluent.<\/li>\n<li>\u201cThe Information : A history, a theory, a flood\u201d de James Gleick : je ne l\u2019ai pas encore tout \u00e0 fait fini mais c\u2019est une vraie balade autour de l\u2019histoire de l\u2019information et de sa th\u00e9orisation. Finalement il a tr\u00e8s peu servi pour ce dossier mais j\u2019en conseille malgr\u00e9 tout la lecture.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"wp-flattr-button\"><a class=\"FlattrButton\" style=\"display:none;\" href=\"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/2013\/06\/podcastscience-134-un-echantillon-de-theorie-dinformation-le-theoreme-de-shannon-nyquist\/\" title=\" PodcastScience 134 : Un \u00e9chantillon de th\u00e9orie d&#8217;information : le th\u00e9or\u00e8me de Shannon-Nyquist.\" rev=\"flattr;uid:nicotupe;language:fr_FR;category:text;tags:nicotupe.fr;\">Ceci est une reproduction de mon dossier PodcastScience, je vous invite \u00e0 aller le consulter sur le site directement mais pour les plus fl\u00e9mards, audio et \u00e9crit ci dessous&#8230; Il...<\/a><\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Ceci est une reproduction de mon dossier PodcastScience, je vous invite \u00e0 aller le consulter sur le site directement mais pour les plus fl\u00e9mards, audio et \u00e9crit ci dessous&#8230; Il y a 470 jours, pour mes premi\u00e8res bafouilles dans PodcastScience, je vous pr\u00e9sentais le plus simplement du monde l\u2019infini\u2026 ou plut\u00f4t devrais-je dire LES infinis! [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":1789,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":"","_links_to":"","_links_to_target":""},"categories":[27,59,46,38,47],"tags":[],"class_list":["post-1787","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-article","category-dessin","category-podcastscience","category-sciences","category-stripscience"],"jetpack_featured_media_url":"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/wp-content\/uploads\/2013\/06\/gruyereTriste-01.png","_links":{"self":[{"href":"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1787","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1787"}],"version-history":[{"count":3,"href":"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1787\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1791,"href":"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1787\/revisions\/1791"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/wp-json\/wp\/v2\/media\/1789"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1787"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1787"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1787"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}