{"id":1989,"date":"2014-05-06T23:18:01","date_gmt":"2014-05-06T21:18:01","guid":{"rendered":"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/?p=1989"},"modified":"2014-05-06T23:19:13","modified_gmt":"2014-05-06T21:19:13","slug":"hilbert","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/2014\/05\/hilbert\/","title":{"rendered":"PodcastScience 173 &#8211; Hilbert"},"content":{"rendered":"<iframe loading=\"lazy\" width=\"100%\" height=\"166\" scrolling=\"no\" frameborder=\"no\" src=\"https:\/\/w.soundcloud.com\/player?url=https%3A%2F%2Fapi.soundcloud.com%2Ftracks%2F147586682&player_height=&player_height_multi=&player_width=&player_type=visual&color=ff5500&auto_play=false&show_comments=&show_user=&buying=&sharing=&download=&show_artwork=true&show_playcount=&hide_related=false\"><\/iframe>\n<p>Le grand math\u00e9maticien <a href=\"http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Felix_Klein\">Klein<\/a>, apr\u00e8s avoir obtenu la plus prestigieuse marque de reconnaissance allemande, le \u201c<a href=\"http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Geheimrat\">Geheimrat<\/a>\u201d, insistait toujours pour se faire appeler par ce titre. Comment donc Hilbert, dont nous allons parler dans ce dossier, pr\u00e9f\u00e9rait lui se faire appeler? un de ses anciens \u00e9tudiants r\u00e9pondit simplement : \u201cHilbert ? Il s\u2019en fichait. Il \u00e9tait le roi. Il \u00e9tait Hilbert.\u201d<\/p>\n<p>En effet de son vivant, Hilbert \u00e9tait d\u00e9ja connu, il \u00e9tait m\u00eame d\u00e9j\u00e0 une l\u00e9gende et aujourd\u2019hui encore il fait parti des plus grands math\u00e9maticiens de l\u2019histoire. On va t\u00e2cher dans ce dossier de comprendre pourquoi.<\/p>\n<p>Je vais avoir du mal \u00e0 vous parler de tout ce qu\u2019a fait Hilbert mais on va t\u00e2cher de pr\u00e9senter quelques uns de ses travaux au fil desquels j\u2019esp\u00e8re que vous apr\u00e9henderez mieux le personnage. Hilbert est n\u00e9 en 1862, il enseigne d\u2019abord \u00e0 Koninsberg puis \u00e0 Gottingen o\u00f9 il finira sa carri\u00e8re. C&#8217;est d\u00e8s ses 28 ans qu\u2019il publie son premier r\u00e9sultat important, la r\u00e9solution du probl\u00e8me de <a href=\"http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Paul_Gordan\">Gordan<\/a> en th\u00e9orie des invariants.<\/p>\n<h3>Probl\u00e8me de Gordan<\/h3>\n<figure style=\"width: 220px\" class=\"wp-caption alignright\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/0\/07\/Paul_Albert_Gordan.jpg\/220px-Paul_Albert_Gordan.jpg\" alt=\"Gordan\" width=\"220\" height=\"199\" \/><figcaption class=\"wp-caption-text\">Gordan (Image wikipedia)<\/figcaption><\/figure>\n<p>En math\u00e9matique, une fois un rep\u00e8re d\u00e9fini, on utilise souvent une \u00e9quation pour repr\u00e9senter une courbe. Si l\u2019on change de rep\u00e8re, l\u2019\u00e9quation change alors que l\u2019on a toujours \u00e0 faire \u00e0 la m\u00eame courbe. La th\u00e9orie des invariants consiste justement \u00e0 \u00e9tudier ce qui ne change pas en changeant de rep\u00e8re, les caract\u00e9ristiques propres de la courbe en somme. En 1868, Gordan montre un premier r\u00e9sultat important dans ce domaine et pendant 20 ans, personne ne parviens \u00e0 aller plus loin jusqu\u2019\u00e0 ce qu\u2019Hilbert publie ses r\u00e9sultats. Si le r\u00e9sultat fait pol\u00e9mique \u00e0 l\u2019\u00e9poque, ce n\u2019est pas tant pour son r\u00e9sultat que je ne d\u00e9taillerai pas ici (et qui vaudra plut\u00f4t \u00e0 Hilbert d\u2019entrer de mani\u00e8re fracassante sur la sc\u00e8ne math\u00e9matique) mais plut\u00f4t pour l\u2019originalit\u00e9 que prend ce r\u00e9sultat.<\/p>\n<p>En effet car bien que son travaille d\u00e9montre l\u2019existance d\u2019une solution \u00e0 un probl\u00e8me bien pr\u00e9cis, il ne donne aucun moyen de trouver, de fabriquer, cette solution. C\u2019est une d\u00e9monstration d\u2019existence pure tels seuls les math\u00e9maticiens ont le secret : \u201cC\u2019est possible, je l\u2019ai d\u00e9montr\u00e9, mais je n\u2019ai aucune id\u00e9e de comment faire dans la pratique!\u201d.<\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" src=\"\/\/www.youtube.com\/embed\/SIKtYsdKOJw\" width=\"420\" height=\"315\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<p>Gordan, qui a donn\u00e9 son nom au probl\u00e8me, annonce m\u00eame que \u201cce n\u2019est pas des math\u00e9matiques mais de la th\u00e9ologie!\u201d. Les d\u00e9bats ne durent pas longtemps car trois ans plus tard, il trouve une preuve qui permet de construire la solution, tout le monde est donc content.<\/p>\n<p>Dans sa preuve &#8220;non constructiviste\u201d, Hilbert \u00e9tudie en fait les choses de mani\u00e8re tr\u00e8s g\u00e9n\u00e9rale, tr\u00e8s abstraites. Il prend un jeu d\u2019hypoth\u00e8ses, certes respect\u00e9es par les invariants mais aussi par plein d\u2019autres objets et on n\u2019a finalement pas besoin de pr\u00e9ciser ce qu\u2019ils sont et il en d\u00e9duit des propri\u00e9t\u00e9s dont celle finalement qui fait le sujet de l\u2019article. En fait, sa th\u00e9orie est beaucoup plus g\u00e9n\u00e9rale et le r\u00e9sultat sur les invariants n\u2019en est qu\u2019une petite partie, tellement annexe qu\u2019elle ne porte pas le nom de th\u00e9or\u00e8me mais de &#8220;lemme&#8221;.<\/p>\n<p>En math\u00e9matique, il y a une sorte de hi\u00e9rarchie des r\u00e9sultats. Quand vous \u00eatres tr\u00e8s fier d\u2019un r\u00e9sultat et qu\u2019il vous a demand\u00e9 beaucoup de travail, vous appelez \u00e7a un th\u00e9or\u00e8me. Ce que vous d\u00e9duisez directement d\u2019un th\u00e9or\u00e8me, vous appelez \u00e7a un corollaire. Enfin, un r\u00e9sultat interm\u00e9diaire, le plus souvent technique et\/ou pas passionnant, on appelle \u00e7a un <a href=\"http:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Lemme_(math%C3%A9matiques)\">lemme<\/a>\u2026<\/p>\n<p>Cette perspective abstraite et l\u2019article suivant donnant une construction marquent la fin des principaux r\u00e9sultats de la th\u00e9orie des invariants et ouvrent le nouveau domaine de l\u2019\u00e9tude de ces objets abstrait dont les invariants sont un exemple parmi d\u2019autres. Hilbert conclut alors que \u201cles buts les plus importants de la th\u00e9orie concern\u00e9e par les invariants ont \u00e9t\u00e9 atteints\u201d et annonce qu\u2019il quitte d\u00e9finitivement la th\u00e9orie des invariants&#8230; veni vidi vici!<\/p>\n<p>Mine de rien, ce premier r\u00e9sultat important porte d\u00e9j\u00e0 la plupart des marques de Hilbert. D\u2019abord son cot\u00e9 \u201cbulldozer\u201d, \u00e0 savoir qu\u2019il s\u2019int\u00e9resse \u00e0 un domaine et r\u00e9sout tout ce qu\u2019il y avait \u00e0 r\u00e9soudre. Ensuite, sa r\u00e9solution ouvre, comme souvent, nombre de nouvelles questions et champs math\u00e9matiques. Enfin, il raisonne en toute abstraction, sans forc\u00e9ment n\u00e9cessiter un certain lien avec le \u201cr\u00e9el\u201d.<\/p>\n<h3>Axiomatisation de la g\u00e9om\u00e9trie<\/h3>\n<figure style=\"width: 234px\" class=\"wp-caption alignleft\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/4\/40\/Byrne_1847_Satz_des_Pythagoras_Hochformat.jpg\" alt=\"Euclid\" width=\"234\" height=\"489\" \/><figcaption class=\"wp-caption-text\">Extrait des \u00e9l\u00e9ments d&#8217;Euclid dans l&#8217;\u00e9dition d&#8217;Olivier Byrne (sans aucun doute la plus belle edition que vous pourrez trouver) [Image wikipedia]<\/figcaption><\/figure>Hilbert a donc quitt\u00e9 les invariants mais n\u2019en a pas finit avec l\u2019abstraction et part donc se rendre utile dans un autre domaine. Il s\u2019attaque \u00e0 l\u2019axiomatisation de la g\u00e9om\u00e9trie. Pour vous replacer le sujet, les axiomes de la g\u00e9om\u00e9trie ont \u00e9t\u00e9 d\u00e9finis par Euclide au 300e sci\u00e8cle avant notre \u00e8re et n\u2019ont plus trop \u00e9t\u00e9 touch\u00e9s depuis. Mais maintenant, au XIXe si\u00e8cle, les axiomes d\u2019Euclides ne sont pas assez pr\u00e9cis et ont besoin d\u2019un coup de jeune, c\u2019est exactement ce que va faire Hilbert dans ses \u201cFondements de la g\u00e9om\u00e9trie\u201d.<\/p>\n<p>Son travail dans ce domaine est tr\u00e8s bien illustr\u00e9 par une anecdote qu\u2019il fit \u00e0 ses \u00e9l\u00e8ves : \u201cOn devrait pouvoir parler en g\u00e9om\u00e9trie de tables, de chaises et de chopes de bi\u00e8re, au lieu de points, de droites et de plans\u201d. En somme, Hilbert ne s\u2019int\u00e9ressent pas \u00e0 ce que sont les objets \u201cdroite\u201d et \u201cplan\u201d, il s\u2019int\u00e9resse seulement aux propri\u00e9t\u00e9s qu\u2019ils respectent. Le fait de savoir s\u2019ils \u201cexistent\u201d, s\u2019ils sont repr\u00e9sentatifs de notre monde ne l\u2019int\u00e9resse pas pour construire son axiomatique. Il se contente alors pour seule d\u00e9finition :<br \/>\n\u201cNous pensons trois syst\u00e8mes diff\u00e9rents de choses. Nous nommons les choses du premier syst\u00e8me les points [\u2026]. Nous nommons droites les choses du deuxi\u00e8me syst\u00e8me [\u2026]. Nous appelons plans les choses du troisi\u00e8me syst\u00e8me. [\u2026].<br \/>\nEntre les points, les droites et les plans, nous imaginons certaines relations que nous exprimons par des expressions telles que \u201d\u00eatre sur\u201c, \u201dentre\u201c, \u201dcongruent\u201c. La description exacte et appropri\u00e9e au but des math\u00e9matiques de ces relations est donn\u00e9e par les axiomes de la g\u00e9om\u00e9trie\u201d.<\/p>\n<p>Il n\u2019a donc pas besoin de savoir ce qu\u2019est un \u201cpoint\u201d et ce que veut dire \u201c\u00eatre sur\u201d pour d\u00e9finir et d\u00e9montrer les \u00e9l\u00e9ments de sa g\u00e9om\u00e9trie, il lui suffit de supposer un certain nombre de propri\u00e9t\u00e9s entre objets et relations. Cela tranche tout particuli\u00e8rement avec Euclide qui d\u00e9finit d\u2019abord point et droite avant de poser ses axiomes. Les axiomes d\u2019Euclide ne conviennent plus aux math\u00e9maticiens de cette \u00e9poque, en particulier, ils acceptent mal l\u2019axiome des parall\u00e8les, qui affirme que par un point ext\u00e9rieur \u00e0 une droite, ne passe qu\u2019une droite parall\u00e8le. Cet axiome parait bien compliqu\u00e9 au regard des autres et beaucoup sont persuad\u00e9s qu\u2019il d\u00e9coule des autres. En cherchant \u00e0 d\u00e9montrer qu\u2019une g\u00e9om\u00e9trie ou cet axiome est faux est absurde, ils se retrouvent \u00e0 cr\u00e9er des g\u00e9om\u00e9tries certes \u00e9tranges mais tout \u00e0 fait coh\u00e9rentes. Pire encore, Klein parviens \u00e0 \u00e9tablir une construction qui d\u00e9montre que s\u2019il existe une incoh\u00e9rence dans sa g\u00e9om\u00e9trie non euclidienne, on peut trouver une incoh\u00e9rence similaire dans la g\u00e9om\u00e9trie euclidienne : aucune des deux n\u2019est plus coh\u00e9rente que l\u2019autre!<\/p>\n<p>Les deux types de g\u00e9om\u00e9tries \u00e9tant parfaitement coh\u00e9rentes, on cherche alors \u00e0 \u00e9tablir un lien avec la \u201cr\u00e9alit\u00e9\u201d, \u00e0 savoir si le monde dans lequel nous vivons est euclidien ou non euclidien et arriver \u00e0 cela, il faut reformuler les axiomes d\u2019Euclide de mani\u00e8re plus simple et surtout par des formulations v\u00e9rifiables par l\u2019exp\u00e9rience. Comme pour les invariants, Hilbert prend une direction oppos\u00e9e, il cherche lui \u00e0 s\u00e9parer l\u2019axiomatique de l\u2019exp\u00e9rience!<\/p>\n<p>Le fait de rendre plus \u201cabstraite\u201d cette g\u00e9om\u00e9trie a des cons\u00e9quences essentielles. Si l\u2019on prend par exemple la g\u00e9om\u00e9trie euclidienne que nous avons tous connu \u00e0 l\u2019\u00e9cole et qu\u2019on lui ajoute quelques objets qui nous permettent de faire des mesures, on peut faire l\u2019exp\u00e9rience suivante. Prenez une droite et un point. On peut chercher le point de la droite le plus proche de notre point. Et ce n\u2019est pas qu\u2019un d\u00e9lire de matheux, imaginez que vous n\u2019ayiez le droit qu\u2019aux points de la droite et que vous vouliez pourant repr\u00e9senter le point, vous allez chercher \u00e0 faire au mieux, \u00e0 trouver le point le moins diff\u00e9rent. En fait ce point de la droite le plus proche du point ext\u00e9rieur est le projet\u00e9 orthogonal, c\u2019est \u00e0 dire le point de la droite qui va permettre de former un angle droit.<\/p>\n<figure id=\"attachment_3353\" aria-describedby=\"caption-attachment-3353\" style=\"width: 444px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/wp-content\/uploads\/2014\/05\/blahe.png\" rel=\"lightbox[1989]\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-3353\" src=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/wp-content\/uploads\/2014\/05\/blahe.png\" alt=\"Projection\" width=\"444\" height=\"235\" \/><\/a><figcaption id=\"caption-attachment-3353\" class=\"wp-caption-text\">si on a une droite (ici en rouge et qu&#8217;on appelera d) et un point ext\u00e9rieur \u00e0 la droite (ici en bleu et appel\u00e9 A). Si on cherche le point de la droite le plus proche de A, c&#8217;est le point P, aussi appel\u00e9 projet\u00e9 orthogonal. Il forme un angle droit avec la droite.<\/figcaption><\/figure>\n<p>Alors jusqu\u2019ici rien d\u2019extraordinaire, vous l\u2019auriez fait de vous m\u00eame. Ce qu\u2019apporte Hilbert \u00e0 cet \u00e9poque est en somme de dire que tout cela ne fonctionne pas qu\u2019avec les \u201cpoints\u201d et \u201cdroites\u201d usuels mais que l\u2019on peut faire les m\u00eames choses avec tout objet qui respectent les m\u00eames propri\u00e9t\u00e9s. Rappelez vous mon dossier sur la transform\u00e9e de Fourier. On avait des images, que l\u2019on va appeler \u201cpoints\u201d et on cherchait \u00e0 repr\u00e9senter cette image avec des rayures. Un type de rayures forme alors une droite et selon la position o\u00f9 l\u2019on est sur la droite les rayures sont plus ou moins contrast\u00e9es. Trouver l\u2019image de rayures la plus proche de l\u2019image de d\u00e9part ne consiste \u00e0 rien d\u2019autre que faire la m\u00eame op\u00e9ration : une projection orthogonale! La transform\u00e9e de Fourier n\u2019est rien d\u2019autre qu\u2019une projection orthogonale o\u00f9 les points seraient des fonctions et l\u2019espace sur lequel on projette, un ensemble de fonctions bien particuli\u00e8res, les sinus et cosinus. Et pour avoir le droit de dire \u00e7a, il suffit de v\u00e9rifier que l\u2019on respecte bien les quelques axiomes.<\/p>\n<p>Du coup, les g\u00e9om\u00e9tries diverses et vari\u00e9es sont utilis\u00e9es dans pratiquement tous les domaines scientifiques. La relativit\u00e9 par exemple se fait sur des espaces non euclidiens et ce n\u2019est pas si \u00e9tonnant quand on sait que Hilbert a d\u00e9velopp\u00e9 une th\u00e9orie similaire \u00e0 la relativit\u00e9 au m\u00eame moment et ind\u00e9pendamment d\u2019Einstein. Hilbert n\u00e9anmoins admettait sans probl\u00e8me qu\u2019Einstein avait eu la meilleur approche, et que cela \u00e9tait sans doute du au fait qu\u2019Einstein \u201cn\u2019avait jamais rien appris sur les math\u00e9matique du temps et de l\u2019espace avant!\u201d<\/p>\n<h2>Consistance, ind\u00e9pendance et compl\u00e9tude<\/h2>\n<p>Poser un jeu d\u2019axiome est bien joli mais finalement sans rapport \u00e0 la r\u00e9alit\u00e9, on pourrait croire qu\u2019on fait ce que l\u2019on veut et ce n\u2019est bien sur pas le cas. Apr\u00e8s avoir pos\u00e9 ses axiomes, Hilbert a travaill\u00e9 \u00e0 montrer leur non-contradiction. C\u2019est \u00e0 dire \u00e0 prouver qu\u2019il est impossible avec ces propri\u00e9t\u00e9s d\u2019\u00e9crire une proposition contradictoire. Ce n\u2019est pas un d\u00e9tail, car si on trouve un jour dans une th\u00e9orie math\u00e9matique une contradiction, c\u2019est toute la th\u00e9orie qui s\u2019effondre! Car \u00e0 partir d\u2019une simple contradiction, il est possible de prouver n\u2019importe quoi\u2026 et son contraire. Il faut aussi montrer l\u2019ind\u00e9pendance des axiomes, c\u2019est \u00e0 dire qu\u2019on ne peut pas d\u00e9duire un axiome donn\u00e9 des autres. Cette propri\u00e9t\u00e9 n\u2019est pas indispensable pour peu que l\u2019on ai montr\u00e9 la non-contradiction mais des axiomes non ind\u00e9pendant voudrait dire qu\u2019on en fait plus que le n\u00e9cessaire et n\u2019oubliez jamais que les matheux sont des flemmards!<\/p>\n<figure style=\"width: 212px\" class=\"wp-caption alignright\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/4\/42\/Kurt_g%C3%B6del.jpg\" alt=\"\" width=\"212\" height=\"270\" \/><figcaption class=\"wp-caption-text\">Kurt G\u00f6del (image wikipedia)<\/figcaption><\/figure>\n<p>Avec Hilbert, un axiome n\u2019est plus vrai car il traduit l\u2019exp\u00e9rience mais car il s\u2019inscrit dans un syst\u00e8me consistant. Cela marque le d\u00e9but des math\u00e9matiques modernes et marque aussi un point de rupture avec les autres sciences dont on a souvent eu l\u2019occasion de discuter ici. Ce changement a aussi une autre implication, en tuant le lien avec l\u2019exp\u00e9rience, le probl\u00e8me de l\u2019axiomatisation deviens un probl\u00e8me math\u00e9matique et, au m\u00eame titre que les autres probl\u00e8mes math\u00e9matiques, il pourra \u00eatre \u00e9tudi\u00e9 et mener \u00e0 des d\u00e9monstrations tel que le th\u00e9or\u00e8me de <a href=\"http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Kurt_G%C3%B6del\">G\u00f4del<\/a> dont nous allons reparler tout de suite.<\/p>\n<p>Cette t\u00e2che sur les fondements de la g\u00e9om\u00e9trie n\u2019est qu\u2019un d\u00e9but d\u2019une plus grande mission men\u00e9e par Hilbert, le programme formaliste. Ce qui marque le d\u00e9but de cette nouvelle p\u00e9riode est la d\u00e9couverte de paradoxes. Les paradoxes en math\u00e9matiques sont plus \u201cgraves\u201d que dans bien d\u2019autres sciences, ce sont des contradictions et, comme nous l\u2019avons vu, une simple contradiction peut d\u00e9truire la th\u00e9orie. En physique, un paradoxe est une exp\u00e9rience non v\u00e9rifi\u00e9e par la th\u00e9orie, il montre les limites de la th\u00e9orie mais ne remet g\u00e9n\u00e9ralement pas en cause les r\u00e9sultats pr\u00e9c\u00e9dents : si ces exp\u00e9riences collaient avec la th\u00e9orie par le pass\u00e9, \u00e7a n\u2019a pas de raison de changer maintenant que l\u2019on a d\u00e9couvert une nouvelle exp\u00e9rience. Ainsi, la m\u00e9canique classique mod\u00e9lise toujours bien les mouvements des objets \u00e0 faible vitesse m\u00eame maintenant qu\u2019on sait qu\u2019elle mod\u00e9lise tr\u00e8s mal les mouvements des corps \u00e0 vitesse tr\u00e8s proche de la vitesse de la lumi\u00e8re.<\/p>\n<p>Parmi les paradoxes exprim\u00e9s \u00e0 cette \u00e9poque (il y en a 3), le plus connu et le plus simple est celui de Russel. Il consiste simplement \u00e0 consid\u00e9rer E, l\u2019ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas. Si E n\u2019est pas contenu dans E, alors il est un ensemble qui ne se contient pas, donc n\u00e9cessairement E n\u2019appartient pas \u00e0 lui-m\u00eame. Or si E n\u2019appartient pas \u00e0 lui m\u00eame, alors par d\u00e9finition E est dans E. C\u2019est le moment o\u00f9 l\u2019on commence \u00e0 avoir mal \u00e0 la t\u00eate, c\u2019est normal, c\u2019est un paradoxe logique et notre cerveau est fait pour interpr\u00e9ter la logique. On le conna\u00eet aussi sous le nom de paradoxe du menteur et il apparait m\u00eame dans le jeu Portal 2.<\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" src=\"\/\/www.youtube.com\/embed\/JR4H76SCCzY\" width=\"420\" height=\"315\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<p>Au dela m\u00eame de l\u2019axiomatique, ce paradoxe met en question toute la d\u00e9marche math\u00e9matique. En effet, il convient de comprendre o\u00f9 tout cela cloche. A-t-on le droit de d\u00e9finir cet espace E? Si l\u2019on a pas le droit, du fait de quelle propri\u00e9t\u00e9? Qu\u2019\u00e0 cela ne tienne, Hilbert \u00e0 montr\u00e9 la direction avec son axiomatisation de la g\u00e9om\u00e9trie, il \u201csuffit\u201d d\u2019axiomatiser les math\u00e9matiques, c\u2019est le programme formaliste dont les pr\u00e9misses sont \u00e9nonc\u00e9es dans une conf\u00e9rence c\u00e9l\u00e8bre en 1900. C\u2019est dans cette conf\u00e9rence qu\u2019Hilbert pr\u00e9sente aussi l\u2019avenir des math\u00e9matiques avec 23 probl\u00e8mes qui doivent \u00eatre r\u00e9solus pour faire avancer cette science.<\/p>\n<h2>La guerre du fondement des math\u00e9matiques<\/h2>\n<p>Axiomatiser les math\u00e9matiques n\u2019est pas une mince affaire, il consiste donc \u00e0 d\u00e9finir tous les termes et relations que nous serons amen\u00e9s \u00e0 utiliser. Puis de donner des r\u00e8gles de d\u00e9duction, et, histoire de ne pas perdre toute une histoire des math\u00e9matiques, tacher de faire cela en arrivant finalement \u00e0 red\u00e9montrer tous les r\u00e9sultats existants mais en \u00e9liminant les contradictions\u2026. rien que \u00e7a!<\/p>\n<p>Deux grandes th\u00e9ories sont \u201ctouch\u00e9es\u201d par les paradoxes. La premi\u00e8re n\u2019est rien de moins que l\u2019arithm\u00e9tique (c\u2019est la th\u00e9orie qui permet de faire des aditions, des multiplications, etc.). Le probl\u00e8me avec l\u2019arithm\u00e9tique est que la th\u00e9orie est la plus simple connue et donc est utilis\u00e9e dans beaucoup d\u2019autres. En particulier, Hilbert d\u00e9montre que la consistance de son syst\u00e8me de g\u00e9om\u00e9trie est \u00e9quivalente \u00e0 la consistance de l\u2019arithm\u00e9tique, on se doute bien alors qu\u2019il ne pourra pas prouver la consistance de l\u2019arithm\u00e9tique par la m\u00eame m\u00e9thode\u2026<\/p>\n<figure style=\"width: 154px\" class=\"wp-caption alignleft\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/e\/e7\/Georg_Cantor2.jpg\" alt=\"\" width=\"154\" height=\"202\" \/><figcaption class=\"wp-caption-text\">Cantor [Image wikipedia]<\/figcaption><\/figure>la seconde est la th\u00e9orie des ensembles de Cantor dont nous avons d\u00e9j\u00e0 parl\u00e9 dans l\u2019<a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/dossiers\/2012\/02\/22\/dossier-linfini-quand-il-ny-en-a-plus-il-y-a-cantor\/\">\u00e9pisode sur l\u2019infini<\/a> et qui permet d\u2019aboutir au paradoxe de Russel. Beaucoup des math\u00e9maticiens de l\u2019\u00e9poque n\u2019appreciaient d\u00e9j\u00e0 pas cette th\u00e9orie pour le moins \u00e9trange et ce genre de paradoxe n\u2019arrangea rien et pousse \u00e0 la naissance de l\u2019intuitionisme. Les intuitionistes consid\u00e8rent que cette th\u00e9orie et ces paradoxes qui en d\u00e9coulent sont du \u00e0 une utilisation abusive de logique abstraite qui pousse \u00e0 une perte totale de sens. Ils proposent alors de se limiter \u00e0 une logique dans laquelle on peut construire les objets, typiquement dans laquelle la preuve d\u2019existance sans construction de Hilbert n\u2019est pas une preuve. Ils refusent \u00e0 titre d\u2019exemple le principe du tiers exclu qui affirme qu\u2019une proposition ou son contraire est vraie. Exclure le tiers exclu veut donc dire que l\u2019on accepte que dans certain cas ni la proposition ni son contraire n\u2019est vraie. C\u2019est ce principe qui permet d\u2019amener \u00e0 beaucoup de preuves sans construction Rappelez-vous par exemple le dossier sur les algorithmes, on a d\u00e9montr\u00e9 que tous les nombres r\u00e9ells ne sont pas calculables par un ordinateur. Gr\u00e2ce au tiers exclu, on peut en d\u00e9duire qu\u2019il existe un nombre non calculable par un ordinateur sans pour autant \u00eatre capable de le construire! Finalement, la logique intuitioniste est sans doute la partie des math\u00e9matiques la plus facilement comprise\/accept\u00e9e car se contraignant \u00e0 chaque \u00e9tape de pouvoir effectivement fabriquer les objets.<\/p>\n<p>Mais comme on le voit ici, cette logique est plus restreinte que celle utilis\u00e9e jusqu\u2019alors et am\u00e8ne \u00e0 se s\u00e9parer de beaucoup de belles th\u00e9ories. En particulier, dans un monde intuitioniste, il faudrait dire au revoir \u00e0 la th\u00e9orie de Cantor, ce \u00e0 quoi Hilbert s\u2019oppose en affirmant le c\u00e9l\u00e8bre : \u201cNul ne doit nous exclure du Paradis que Cantor a cr\u00e9\u00e9\u201d<\/p>\n<p>La guerre est donc lanc\u00e9e et \u00e0 l\u2019\u00e9poque c\u2019est mal parti pour Hilbert et les formalistes, en effet, leur utilisation intensive de la logique am\u00e8ne \u00e0 des paradoxes qui pourrait \u00eatre \u00e9vit\u00e9s en se limitant au programme intuitioniste.<\/p>\n<h2>Le programme formaliste<\/h2>\n<p>Hilbert, <a href=\"http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Paul_Bernays\">Bernays<\/a> et <a href=\"http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Wilhelm_Ackermann\">Ackermann<\/a> reprennent alors les bases et ils commencent par l\u2019arithm\u00e9tique la plus simple. ils commencent avec un signe | (vous pouvez appeler \u00e7a 1 si vous voulez), d\u00e9finissent l\u2019addition, montrent des r\u00e9sultats en supposant des axiomes mais dans un premier temps restent dans une approche bien palpable : ils s\u2019interdisent d\u2019utiliser l\u2019infini et t\u00e2chent \u00e0 ce que chaque d\u00e9monstration soit r\u00e9alisable par une exp\u00e9rience. Cela veut dire par exemple qu\u2019il s\u2019interdisent de jouer avec l\u2019ensemble de tous les nombres, car ils auront bien du mal \u00e0 r\u00e9aliser une exp\u00e9rience avec une infinit\u00e9 de termes. Cette premi\u00e8re math\u00e9matique est appel\u00e9e math\u00e9matique contentuelle et est en fait plus restreinte encore que l\u2019intuitionisme et comme elle est bas\u00e9e sur l\u2019exp\u00e9rience, elle parait \u00e9vidente.<\/p>\n<p>Sur cette base, les formalistes tachent alors d\u2019int\u00e9grer les autres th\u00e9ories en s\u2019autorisant une logique plus abstraite mais leur but est d\u2019essayer de prouver, gr\u00e2ce aux math\u00e9matiques contentuelles que ce nouvel ensemble d\u2019axiome est coh\u00e9rent. Ils aimeraient aussi parvenir \u00e0 construire un syst\u00e8me complet, c\u2019est \u00e0 dire ou toute proposition (ou son contraire) peut \u00eatre prouv\u00e9e.<\/p>\n<p>Ce programme aboutira finalement \u00e0 un \u00e9chec caract\u00e9ris\u00e9 par le th\u00e9or\u00e8me de G\u00f6del, d\u00e9j\u00e0 vu dans<a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/dossiers\/2012\/06\/28\/les-theoremes-dincompletude-de-godel\/\"> le dossier de Robin<\/a>. Godel tue tout espoir de parvenir \u00e0 un tel r\u00e9sultat, avec une approche formaliste ou non. Il \u00e9limine aussi l\u2019espoir des intuitionistes. En effet, Godel arrive \u00e0 montrer que la th\u00e9orie intuitioniste est parfaitement \u00e9quivalente \u00e0 l\u2019arithm\u00e9tique classique, si bien que contrairement aux apparences, les restrictions des intuitionistes ne permettent pas de rendre plus coh\u00e9rente la th\u00e9orie arithm\u00e9tique, elles ne changent rien.<\/p>\n<p>Au niveau formaliste, G\u00f6del\u00a0montre que l\u2019on ne peut pas prouver la consistance d\u2019une th\u00e9orie au sein m\u00eame de cette th\u00e9orie, ainsi, le programme formalisme qui voulait justement parvenir \u00e0 ce r\u00e9sultat est vou\u00e9 \u00e0 l\u2019\u00e9chec. Le programme reste malgr\u00e9 tout important, d\u2019abord G\u00f6del\u00a0s\u2019est probablement interess\u00e9 au sujet pour r\u00e9soudre les questions du programme. Ensuite l\u2019id\u00e9e du formalisme reste importante et impregne encore aujourd\u2019hui la pratique des math\u00e9matiques : les choses dont parle les math\u00e9matiques sont des symboles vides de sens, tant que vous savez comment les manipuler, cela vous suffit pour faire des math\u00e9matiques. Il n\u2019a finalement qu\u2019\u00e9t\u00e9 prouv\u00e9 qu\u2019il fallait sortir de la sph\u00e8re des math\u00e9matiques pour poser convenablement ses fondements.<\/p>\n<h2>Mais aussi\u2026<\/h2>\n<figure style=\"width: 166px\" class=\"wp-caption alignright\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/7\/79\/Hilbert.jpg\" alt=\"\" width=\"166\" height=\"224\" \/><figcaption class=\"wp-caption-text\">Hilbert [Image wikipedia]<\/figcaption><\/figure>Hilbert ne s\u2019est pas qu\u2019int\u00e9ress\u00e9 aux maths. Il se tourne vers la physique d\u00e8s 1912 pour pr\u00e9senter une th\u00e9orie cin\u00e9tique des gaz. Il consid\u00e8re qu\u2019il faut faire une axiomatisation de la physique et pense que cela dit \u00eatre fait par un math\u00e9maticien car il pense que maintenant \u201cla physique est trop difficile pour des physiciens\u201d. Ici comme souvent, il n\u2019invente quelque chose de fondamentalement nouveau mais le simplifie et unifie plusieurs th\u00e9orie utilis\u00e9es \u00e0 l\u2019\u00e9poque dans l\u2019esprit d\u2019une phrase qu\u2019il pronon\u00e7a dans sa conf\u00e9rence de 1900 : \u201cUne th\u00e9orie math\u00e9matique n\u2019est pas termin\u00e9e tant qu\u2019on ne l\u2019a pas rendue si claire que l\u2019on puisse l\u2019expliquer \u00e0 la premi\u00e8re personne qui passe dans la rue!\u201d. Il n\u2019h\u00e9site pas non plus \u00e0 dire qu\u2019apr\u00e8s avoir r\u00e9form\u00e9 les math\u00e9matiques, il s\u2019attaque \u00e0 la physique et quand il en aura fini il s\u2019attaquera \u00e0 la chimie qui \u00e0 l\u2019\u00e9poque \u00e9tait, selon ses mots, \u201ccomme faire de la cuisine dans une \u00e9cole pour filles\u201d. Comme nous l\u2019avons d\u00e9j\u00e0 vu, en 1915, il produira une th\u00e9orie de la relativit\u00e9 et il a eu une influence indirecte d\u00e9terminante pour l\u2019essor de la m\u00e9canique quantique. Il se trouve que les outils math\u00e9matiques de la m\u00e9canique quantique sont une application directe de la th\u00e9orie des \u00e9quations int\u00e9grales.s Pour autant, commen\u00e7ant \u00e0 \u00eatre \u00e2g\u00e9, il comprenait difficilement la m\u00e9canique quantique, expliqu\u00e9e par son assistant. Il dit un jour : \u201cJe ne vois pas comment quelqu\u2019un peut comprendre quelque chose \u00e0 ce que se passe en physique ces jours. M\u00eame moi ne comprend tout ce que je voudrais dans les livres de physique. Et encore, quand c\u2019est moi, si je ne comprend pas, je passe un coup de t\u00e9l\u00e9phone \u00e0 Debye ou Born et ils m\u2019expliquent\u2026\u201d.<\/p>\n<p>Hilbert passera la plus grande partie de sa vie \u00e0 l\u2019universit\u00e9 de G\u00f6ttingen qui devint alors un des plus grand centres de la pens\u00e9e math\u00e9matique au monde. Les meilleurs \u00e9tudiants du monde \u00e9taient vivement conseill\u00e9s de faire leur bagages et rejoindre cette universit\u00e9. Hilbert exp\u00e9rimentait durant ses pr\u00e9sentations, plusieurs de ses \u00e9l\u00e8ves ont vu ses th\u00e9ories se construire au fil des cours, ils avaient l\u2019impression de vivre la science en train de se faire (expression ch\u00e8re au Palais de la D\u00e9vouverte). Cet univers de r\u00e9flexion et de d\u00e9couvertes math\u00e9matiques a impr\u00e9gn\u00e9 \u00e9l\u00e8ves et professeurs et quand est arriv\u00e9e la seconde guerre mondiale, la plupart, sauf Hilbert, ont du fuir l\u2019universit\u00e9. Bien qu\u2019ayant toujours refus\u00e9 de faire une autre distinction entre personnes que le talent math\u00e9matique, Hilbert tenait \u00e0 rester dans sa ville. Il a alors fini sa vie pratiquement seul pendant que ses anciens coll\u00e8gues et \u00e9tudiants vivaient aux quatre coins du monde et diffusaient la pens\u00e9e Hilbertienne dont tout math\u00e9maticien aujourd\u2019hui porte un h\u00e9ritage.<\/p>\n<figure style=\"width: 413px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/8\/8f\/HilbertGrab.jpg\" alt=\"\" width=\"413\" height=\"551\" \/><figcaption class=\"wp-caption-text\">La tombe de Hilbert avec la citation &#8220;Nous devons savoir, nous saurons&#8221;<\/figcaption><\/figure>\n<p><span style=\"text-decoration: underline;\"><strong>Bibliographie<\/strong><\/span><\/p>\n<p>Pour pr\u00e9parer ce dossier, je me suis principalement aid\u00e9 des deux livres suivants.\u00a0A part \u00e7a n&#8217;h\u00e9sitez pas \u00e0 consulter les pages wikipedia d\u00e9di\u00e9es \u00e0 Hilbert et ses travaux dans la version anglaise de l&#8217;encyclop\u00e9die, elles sont tr\u00e8s compl\u00e8tes.<\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"http:\/\/www.amazon.fr\/Hilbert-Constance-Reid-ebook\/dp\/B001CXAGI0\/ref=sr_1_1?s=digital-text&amp;ie=UTF8&amp;qid=1399405544&amp;sr=1-1&amp;keywords=hilbert\">&#8220;Hilbert&#8221; par Constance Reid <\/a>: Livre tr\u00e8s long qui raconte en d\u00e9tail la vie de Hilbert mais avec moins de d\u00e9tails ses r\u00e9sultats. Pour autant c&#8217;est le plus int\u00e9ressant des deux pour ressentir l&#8217;effervescence de l&#8217;\u00e9poque \u00e0 Gottingen et avoir un aper\u00e7u complet sur la vie et l&#8217;oeuvre de Hilbert.<\/li>\n<li>&#8220;<a href=\"http:\/\/www.amazon.fr\/Hilbert-Pierre-Cassou-Nogu%C3%A8s\/dp\/2251760369\/ref=sr_1_1?ie=UTF8&amp;qid=1399405537&amp;sr=8-1&amp;keywords=hilbert\">Hilbert&#8221; par Pierre Cassou-Nogu\u00e8s<\/a> : Ce livre t\u00e2che d&#8217;expliquer en d\u00e9tail le combat qui a eu lieu entre formalisme et intuitionisme et ce qu&#8217;ont apport\u00e9 les r\u00e9sultats de G\u00f6del. Par contre le livre fait dans l&#8217;efficacit\u00e9, ce n&#8217;est pas romanc\u00e9, cela peut d\u00e9plaire&#8230;<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"wp-flattr-button\"><a class=\"FlattrButton\" style=\"display:none;\" href=\"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/2014\/05\/hilbert\/\" title=\" PodcastScience 173 &#8211; Hilbert\" rev=\"flattr;uid:nicotupe;language:fr_FR;category:text;tags:nicotupe.fr;\">Le grand math\u00e9maticien Klein, apr\u00e8s avoir obtenu la plus prestigieuse marque de reconnaissance allemande, le \u201cGeheimrat\u201d, insistait toujours pour se faire appeler par ce titre. Comment donc Hilbert, dont nous...<\/a><\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Le grand math\u00e9maticien Klein, apr\u00e8s avoir obtenu la plus prestigieuse marque de reconnaissance allemande, le \u201cGeheimrat\u201d, insistait toujours pour se faire appeler par ce titre. Comment donc Hilbert, dont nous allons parler dans ce dossier, pr\u00e9f\u00e9rait lui se faire appeler? un de ses anciens \u00e9tudiants r\u00e9pondit simplement : \u201cHilbert ? Il s\u2019en fichait. 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