{"id":771,"date":"2012-02-23T16:57:24","date_gmt":"2012-02-23T16:57:24","guid":{"rendered":"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/?p=771"},"modified":"2012-02-23T17:08:21","modified_gmt":"2012-02-23T17:08:21","slug":"podcastscience-74-linfini-quand-il-ny-en-a-plus-il-y-a-cantor","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/2012\/02\/podcastscience-74-linfini-quand-il-ny-en-a-plus-il-y-a-cantor\/","title":{"rendered":"PodcastScience 74 – L’infini, quand il n’y en a plus, il y a Cantor!"},"content":{"rendered":"

Cet article est une reproduction du dossier que j’ai \u00e9crit pour Podcastscience<\/a> et je vous engage \u00e0 vous abonner \u00e0 ce podcast. Pour les plus flemmards, le texte et l’audio dans la suite…<\/p>\n

<\/object><\/p>\n

L’infini est depuis toujours dans la t\u00eate des hommes sans pour autant qu’ils arrivent \u00e0 l’appr\u00e9hender. Parfois objet de fantasme, on le croise dans beaucoup de publicit\u00e9s allant des forfaits t\u00e9l\u00e9phoniques illimit\u00e9s aux restaurants \u00e0 volont\u00e9. D’autres fois objet d’inqui\u00e9tude devant son immensit\u00e9 comme a eu l’occasion de le dire Pascal :<\/p>\n

Le silence \u00e9ternel de ces espaces infinis me terrifie – Pascal<\/p><\/blockquote>\n

L’infini peut \u00eatre tr\u00e8s grand, mais aussi tr\u00e8s petit. Dans l’antiquit\u00e9, Z\u00e9non d’\u00c9l\u00e9e<\/a> pr\u00e9sente une premi\u00e8re approche de cet infiniment petit par le biais d’un paradoxe. Prenons deux points A et B repr\u00e9sent\u00e9s sur la figure ci-dessous.
\n\"\"<\/a><\/p>\n

Ce paradoxe explique qu’un objet ne peut aller de A \u00e0 B en un temps fini. En effet, pour atteindre B en partant de A, cet objet doit passer par le milieu M du segment. Puis il doit passer par le milieu M’ de MB, puis par le milieu M” de M’B et ainsi de suite… L’objet doit donc passer par une infinit\u00e9 de points, ce qui est impossible (selon Zenon) en un temps fini.<\/p>\n

Ce tr\u00e8s vieux paradoxe illustre que l’on peut aussi croiser l’infini dans des espaces finis (ici le segment AB) en pratiquant une simple op\u00e9ration de d\u00e9coupage par deux. Pour plus de d\u00e9tails sur ce paradoxe et sa r\u00e9solution, je vous invite \u00e0 aller \u00e9couter le petit dossier de Mathieu sur le sujet dans le n\u00b09 du podcast.<\/a><\/p>\n

Chez les math\u00e9maticiens, l’infini a \u00e9t\u00e9 un des plus importants sujets de discorde de l’histoire. Il y a un si\u00e8cle seulement a eu lieu un v\u00e9ritable tremblement de terre au sein de la communaut\u00e9 math\u00e9matique au point que certains ont voulu \u00e9liminer l’infini des limites autoris\u00e9es dans cette science! Tout cela \u00e0 cause des travaux d’un seul homme, Georg Cantor, qui pour la premi\u00e8re fois dans l’histoire r\u00e9ussissait \u00e0 appr\u00e9hender l’infini avec rigueur, mais certains de ses r\u00e9sultats remirent en cause les bases sur lesquelles se fondaient les math\u00e9matiques depuis des si\u00e8cles.<\/p>\n

Ce dossier pr\u00e9sente les principaux r\u00e9sultats de ce “corrupteur de jeunesse” (c’est le nom que lui donnait un autre scientifique c\u00e9l\u00e8bre de l’\u00e9poque, Kronecker<\/a>) et quelques-unes de leurs implications.<\/p>\n

R\u00e9apprendre \u00e0 compter<\/h3>\n

Une des premi\u00e8res rencontres avec l’infini se fait tr\u00e8s t\u00f4t, en r\u00e9pondant \u00e0 la question “jusqu’\u00e0 quel nombre sais-tu compter?”. Contrairement \u00e0 l’affirmation commune, on n’arrive jamais \u00e0 compter jusqu’\u00e0 l’infini, mais on connait une m\u00e9thode pour \u00e0 partir d’un nombre donner, trouver le chiffre suivant. Roman Opalka<\/a>, un artiste contemporain, a bien essay\u00e9 de compter jusqu’\u00e0 l’infini (une de ses peintures ci dessous), mais apr\u00e8s 40 ans de travail, il trouve toujours le chiffre suivant!<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Il n’est donc pas possible en temps fini de compter tous les nombres. Mais est-il possible de savoir s’il y a plus de nombres entiers :<\/p>\n

1,2,3,4,5,6,7,8,...<\/code><\/center>
\nque de nombres pairs :<\/p>\n

2,4,6,8,10,12,14,16...<\/code><\/center>
\nLa r\u00e9ponse semble \u00eatre \u00e9videmment qu’il y a plus de nombres entiers que de nombres pairs \u00e9tant donn\u00e9 que les nombres pairs sont strictement inclus dans les nombres, mais comment en \u00eatre s\u00fbr?<\/p>\n

Toutes les personnes ayant invit\u00e9 le temps d’une soir\u00e9e des amis ont d\u00e9j\u00e0 trouv\u00e9, sans s’en rendre compte, une solution pour comparer efficacement des ensembles, m\u00eame infinis! Pour qu’une soir\u00e9e soit r\u00e9ussie, il est pr\u00e9f\u00e9rable que chaque invit\u00e9 ait un verre. On peut, bien s\u00fbr, compter le nombre des verres et le comparer avec le d\u00e9compte du nombre d’invit\u00e9s. \u00c9trangement, cette solution est rarement la plus efficace, que ce soit \u00e0 cause d’un ami enferm\u00e9 aux toilettes ou d’une erreur de compte pour cause d’\u00e9bri\u00e9t\u00e9.
\nUne m\u00e9thode autrement plus efficace est de donner un verre \u00e0 chaque invit\u00e9. Si alors il reste des verres, c’est qu’il y a plus de verres que d’invit\u00e9 et inversement si des invit\u00e9s n’ont pas de verre c’est qu’il y a moins de verre que d’invit\u00e9.<\/p>\n

Pour comparer “l’ensemble des verres” et “l’ensemble des invit\u00e9s”, on a ainsi essay\u00e9 d’associer \u00e0 chaque invit\u00e9 un verre. Inversement, on sait retrouver \u00e0 quel invit\u00e9 appartient le verre en regardant qui est au bout du bras qui le tient. Ce type d’application s’appelle en math\u00e9matique une “bijection”. Une bijection est une application entre deux espaces, elle associe \u00e0 chaque \u00e9l\u00e9ment de l’espace de d\u00e9part (ici un invit\u00e9) un unique \u00e9l\u00e9ment de l’espace d’arriv\u00e9e (ici un verre) et inversement \u00e0 chaque \u00e9l\u00e9ment de l’espace d’arriv\u00e9e est associ\u00e9 un unique \u00e9l\u00e9ment de l’espace de d\u00e9part.<\/p>\n

L’int\u00e9r\u00eat de ce type de transformation est de pouvoir comparer des ensembles. Ainsi, si chaque invit\u00e9 \u00e0 un verre, on pourra dire que l’ensemble des verres contient autant d’\u00e9l\u00e9ments que l’ensemble des invit\u00e9s.<\/p>\n

Arm\u00e9s de cette “bijection”, nous sommes \u00e0 m\u00eame de comparer des ensembles qu’ils soient finis ou infinis. Et c’est gr\u00e2ce \u00e0 ce simple outil que Cantor a pu fabriquer sa th\u00e9orie de l’infini.<\/p>\n

Le merveilleux h\u00f4tel de Hilbert<\/h3>\n

Pour enseigner les nouvelles th\u00e9ories de Cantor, Hilbert<\/a>, d\u00e9j\u00e0 un math\u00e9maticien c\u00e9l\u00e8bre \u00e0 l’\u00e9poque, propose une m\u00e9taphore qui depuis porte son nom : l’H\u00f4tel de Hilbert.<\/p>\n

Cet h\u00f4tel est un lieu merveilleux puisqu’il contient une infinit\u00e9 de chambres. Et sa renomm\u00e9e \u00e0 travers l’univers a fait ses preuves \u00e0 tel point qu’aujourd’hui chacune des chambres est pleine. C’est-\u00e0-dire que quel que soit le num\u00e9ro de chambre (par exemple la chambre n\u00b01 345 765), il y a quelqu’un \u00e0 l’int\u00e9rieur. Un jour, se pr\u00e9sente \u00e0 la r\u00e9ception une personne souhaitant une chambre pour la nuit. Un propri\u00e9taire d’h\u00f4tel fini serait oblig\u00e9 de refuser cette nouvelle personne, mais le propri\u00e9taire de l’h\u00f4tel infini a plus d’un tour dans son sac. Il prend son micro et lance une annonce pour tous les r\u00e9sidents de l’h\u00f4tel :
\n
\n“A chaque locataire, la direction a besoin de r\u00e9organiser l\u2019h\u00f4tel, veuillez imm\u00e9diatement rejoindre la chambre dont le num\u00e9ro est imm\u00e9diatement sup\u00e9rieur au v\u00f4tre. En nous excusant du d\u00e9rangement”.<\/em><\/p>\n

Ainsi, le locataire de la chambre 1 est maintenant dans la chambre 2
\ncelui de la chambre 2 est maintenant dans la chambre 3
\ncelui de la chambre 3 est maintenant dans la chambre 4
\n…
\ncelui de la chambre 1 345 765 est maintenant dans la chambre 1 345 766
\n…
\net ainsi de suite. \u00c9tant donn\u00e9 que chaque entier a un entier qui lui est directement sup\u00e9rieur, tous les locataires ont une chambre! Plus \u00e9tonnant encore, gr\u00e2ce \u00e0 cette r\u00e9organisation, il y a maintenant une place disponible dans la premi\u00e8re chambre, on a donc<\/p>\n

\\infty=\\infty+1<\/code><\/center>Ce r\u00e9sultat \u00e9tait connu de longue date et a perturb\u00e9 beaucoup de scientifiques. En particulier, il est contraire \u00e0 un des postulats de Galil\u00e9e :<\/p>\n

“Le tout est toujours plus grand que n’importe laquelle de ses parties”<\/p><\/blockquote>\n

Ici “le tout” est l’ensemble des entiers naturel, not\u00e9 \\mathbb{N}<\/code> :<\/p>\n

\\mathbb{N}=\\{1,2,3,...\\}<\/code><\/center>
\net “une de ses partie” est l’ensemble des entiers plus grand ou \u00e9gal \u00e0 2 :<\/p>\n

\\mathbb{N}\\setminus\\{1\\}=\\{2,3,4,...\\}<\/code><\/center>D\u00e9plier pour comprendre la notation du deuxi\u00e8me ensemble.<\/span>
\nDans cette notation, \\mathbb{N}<\/code> d\u00e9signe l’ensemble des entiers naturels. \\{1\\}<\/code> d\u00e9signe l’ensemble qui ne contient que le chiffre 1 et l’op\u00e9ration “\\setminus<\/code>” consiste \u00e0 retirer les \u00e9l\u00e9ments du deuxi\u00e8me ensemble (ici 1) du premier (ici les entiers naturels).
\n<\/div>\n

L’ensemble \\{2,3,4,...\\}<\/code> est contenu dans \\mathbb{N}=\\{1,2,3,...\\}<\/code> et devrait donc, selon Galil\u00e9e, \u00eatre plus petit que \\mathbb{N}<\/code>. Or, le propri\u00e9taire de l\u2019h\u00f4tel de Hilbert a trouv\u00e9 une “bijection” entre les deux ensembles. Cette “bijection” que l’on va noter b associe \u00e0 un entier l’entier qui le suit. Par exemple<\/p>\n

b(1)=2<\/code>
\nb(2)=3<\/code>
\nb(3)=4<\/code>
\n…
\nb(1 345 765)=1 345 766<\/code>
\n…<\/p>\n

Cette application associe bien \u00e0 chaque entier de \\{1,2,3,...\\}<\/code> un unique entier de \\{2,3,4,...\\}<\/code>. Ces deux ensembles ont donc le m\u00eame nombre d’\u00e9l\u00e9ments.<\/p>\n

Revenons-en \u00e0 l’h\u00f4tel infini. Devant ce succ\u00e8s pour loger le nouvel arrivant, par le bouche \u00e0 oreilles, le mois suivant un bus infini arrive \u00e0 l’h\u00f4tel encore une fois complet! Gardant son flegme l\u00e9gendaire, le propri\u00e9taire lance l’annonce suivante :<\/p>\n

“A chaque locataire, la direction a besoin de r\u00e9organiser l’h\u00f4tel, veuillez imm\u00e9diatement rejoindre la chambre dont le num\u00e9ro correspond au double de votre num\u00e9ro de chambre actuel. En nous excusant du d\u00e9rangement”.<\/em><\/p>\n

Ainsi, le locataire de la chambre 1 est maintenant dans la chambre 2
\ncelui de la chambre 2 est maintenant dans la chambre 4
\ncelui de la chambre 3 est maintenant dans la chambre 6
\n…
\ncelui de la chambre 1 345 765 est maintenant dans la chambre 2 691 530 (celui-ci aura un peu plus de marche que les autres).
\n…
\net ainsi de suite.<\/p>\n

Le propri\u00e9taire a ainsi lib\u00e9r\u00e9 toutes les chambres ayant un num\u00e9ro impair \\{1,3,5,...\\}<\/code> en envoyant tous ses locataires dans les chambres paires \\{2,4,6,...\\}<\/code>, il reste donc une infinit\u00e9 de places libres pour loger les nouveaux arrivant. Ce qui permet d’affirmer<\/p>\n

\\infty=\\infty+\\infty<\/code><\/center>Et en particulier, il y a autant d’\u00e9l\u00e9ments dans l’ensemble des nombres pairs que dans l’ensemble de tous les nombres.<\/p>\n

Ce r\u00e9sultat est correct, mais il est normal de ne pas l’accepter tout de suite, il va \u00e0 l’encontre de l’intuition. Pourtant il est fond\u00e9, contrairement \u00e0 l’intuition, sur un raisonnement logique. La vid\u00e9o ci-dessous r\u00e9sume avec brio ce qui vient d’\u00eatre dit :<\/p>\n