{"id":814,"date":"2012-03-14T14:02:05","date_gmt":"2012-03-14T14:02:05","guid":{"rendered":"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/?p=814"},"modified":"2012-05-29T14:15:34","modified_gmt":"2012-05-29T14:15:34","slug":"podcastscience-77-pi","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/2012\/03\/podcastscience-77-pi\/","title":{"rendered":"PodcastScience 77 – Pi"},"content":{"rendered":"

Cet article est une reproduction du dossier que j’ai \u00e9crit pour Podcastscience<\/a> et je vous engage \u00e0 vous abonner \u00e0 ce podcast. Pour les plus flemmards, le texte et l’audio dans la suite…<\/p>\n[audio:http:\/\/www.podcastscience.fm\/wp-content\/uploads\/2012\/03\/77-Pi.mp3]\n

Si nous faisons aujourd’hui une \u00e9mission sur pi, c’est avant tout parce que le 14 mars est une date tr\u00e8s sp\u00e9ciale. Aux \u00c9tats-Unis, on note d’abord le mois puis le jour pour indiquer la date, nous sommes donc le 3-14, ce qui correspond \u00e0 une estimation des premi\u00e8res d\u00e9cimales de \\pi<\/code>! Cette journ\u00e9e festive pour les math\u00e9maticiens est l’occasion de manger des pie (tartes) en buvant des pi\u00f1a colada. Pour l’anecdote, c’est le jour o\u00f9\u00a0le MIT d\u00e9voile ses admissions, il le fait \u00e0 1:59pm (les d\u00e9cimales suivantes dans pi)<\/p>\n

Plusieurs nombres ont un statut particulier en math\u00e9matiques, principalement du fait de leur histoire. Les plus c\u00e9l\u00e8bres sont sans aucun doute \\sqrt{2}<\/code>, le nombre d\u2019or, exponentielle, \\pi<\/code> et om\u00e9ga (celui-l\u00e0, vous ne le connaissez probablement pas, j\u2019en parle un peu plus loin dans ce dossier). Cette illustration d\u2019XKCD<\/a> r\u00e9sume assez bien l\u2019ensemble des nombres \u201cint\u00e9ressants\u201d pour les math\u00e9matiens.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\\pi<\/code> garde un statut particulier, c\u2019est avec \\sqrt{2}<\/code> celui dont la d\u00e9finition est la plus simple et pourtant il a, du fait de ses propri\u00e9t\u00e9s complexes perturb\u00e9es de nombreux scientifiques de l\u2019histoire. Dans ce dossier, nous verrons quelques-unes des propri\u00e9t\u00e9s de ce nombre unique.<\/p>\n

Je ne vais pas m\u2019attarder trop longtemps sur la d\u00e9finition la plus connue de \\pi<\/code>, \u00e0 savoir le rapport entre la circonf\u00e9rence (longueur du p\u00e9rim\u00e8tre d\u2019un cercle) et son diam\u00e8tre. Ni de la d\u00e9finition qui suit g\u00e9n\u00e9ralement \u00e0 savoir le rapport entre l\u2019aire du cercle et le carr\u00e9 de son rayon. En revanche, nous allons commencer par r\u00e9pondre \u00e0 une question que vous ne vous \u00eates sans doute pas assez pos\u00e9e \\pi<\/code> est-il constant?<\/p>\n

Pi est-il constant?<\/h3>\n

La r\u00e9ponse largement accept\u00e9e \u00e0 cette question est oui. Pourtant cela reste \u00e0 d\u00e9montrer. Une d\u00e9monstration simple utilise un th\u00e9or\u00e8me que l\u2019on voit \u00e0 l\u2019\u00e9cole : le th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s. Son \u00e9nonc\u00e9 est le suivant :
\n\u201cSoit un triangle ABC et deux points D et E tels que les droites (DE) et (BC) soient parall\u00e8les. Alors on a \\frac{AD}{AB}=\\frac{AE}{AC}=\\frac{DE}{BC}<\/code>\u201d
\nSi l\u2019on prend alors deux cercles de rayon diff\u00e9rents et que l\u2019on trace le plus grand polygone de 10 c\u00f4t\u00e9s \u00e0 l\u2019int\u00e9rieur, on obtient la figure suivante :<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Le th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s permet d\u2019affirmer que le rapport entre les c\u00f4t\u00e9s de chaque polygones sont \u00e9gaux au rapport des rayons des deux cercles :<\/p>\n

\\pi_1=\\frac{DE}{AD}=\\frac{BC}{AB}=\\pi_2<\/code><\/center><\/p>\n

Si on augmente le nombre de c\u00f4t\u00e9s des deux polygones, les \u201crayons\u201d des polygones convergent vers la m\u00eame valeur et le rapport des circonf\u00e9rences est donc \u00e9gal au rapport des rayons, les \\pi<\/code> des deux cercles sont donc \u00e9gaux (pour que la d\u00e9monstration soit juste, il ne faut pas se contenter de tracer le plus grand polygone contenu dans le cercle, mais tracer aussi le plus petit qui contient le cercle).<\/p>\n

Ouf, \\pi<\/code> est constant, on ne nous a pas menti! Enfin, comme toute d\u00e9monstration math\u00e9matique, elle est vraie dans le cadre de certaines hypoth\u00e8ses\u2026 Pour que le th\u00e9or\u00e8me de Thal\u00e8s soit vrai, il faut se placer dans la g\u00e9om\u00e9trie d\u2019Euclide, soit grossi\u00e8rement une g\u00e9om\u00e9trie \u201cplate\u201d en opposition \u00e0 une g\u00e9om\u00e9trie courbe. Prenons par exemple une assiette \u00e0 soupe. Le pourtour de l\u2019assiette forme bien un cercle, mais le centre de ce cercle, sur l\u2019assiette, n\u2019est pas sur le m\u00eame plan que ce cercle et ne co\u00efncide donc pas avec le centre “euclidien” du cercle. Sur Terre, le probl\u00e8me est le m\u00eame, du fait de la forme de la terre, quand on trace un cercle au sol et mesure son diam\u00e8tre, la valeur n\u2019est pas la m\u00eame que celle que l\u2019on obtiendrait en g\u00e9om\u00e9trie euclidienne. Cela a pour cons\u00e9quence que sur Terre \\pi<\/code> n\u2019est pas constant!<\/p>\n

Rassurez-vous, le \\pi<\/code> des math\u00e9matiques est bel est bien constant et correspond au rapport des cercles en g\u00e9om\u00e9trie Euclicienne. Cette remarque permet de diff\u00e9rencier deux types de constantes :<\/p>\n