{"id":2088,"date":"2015-04-26T20:35:05","date_gmt":"2015-04-26T18:35:05","guid":{"rendered":"http:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/?p=2088"},"modified":"2015-04-26T20:35:05","modified_gmt":"2015-04-26T18:35:05","slug":"ps201-les-nombres-complexes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/2015\/04\/ps201-les-nombres-complexes\/","title":{"rendered":"PS201 &#8211; Les nombres complexes"},"content":{"rendered":"<p>Cet article est un dossier pour PodcastScience \u00e9pisode 201, n&#8217;h\u00e9sitez pas \u00e0 vous y balader sur le site <a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\">www.podcastscience.fm<\/a>!<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<iframe loading=\"lazy\" width=\"100%\" height=\"166\" scrolling=\"no\" frameborder=\"no\" src=\"https:\/\/w.soundcloud.com\/player?url=https%3A%2F%2Fapi.soundcloud.com%2Ftracks%2F185496719&player_height=&player_height_multi=&player_width=&player_type=visual&color=ff5500&auto_play=false&show_comments=true&show_user=true&buying=&sharing=&download=&show_artwork=&show_playcount=&hide_related=false\"><\/iframe>\n<p>Les nombres ont passionn\u00e9 et passionnent plus d\u2019un math\u00e9maticien. On pourrait croire que ces nombres sont fig\u00e9s dans le marbre depuis la nuit des temps mais il n\u2019en est rien! Nous avons pu d\u2019abord d\u00e9couvrir que le z\u00e9ro a mis un temps consid\u00e9rable avant d\u2019\u00eatre utilis\u00e9, que des personnes sont morts pour les irrationnels et m\u00eame que des nombres bizaro\u00efdes permettent de diff\u00e9rentier les infinis.<\/p>\n<p>Pourtant, pour beaucoup d\u2019\u00e9quation, tout s\u2019est arr\u00eat\u00e9 (et a commenc\u00e9) gr\u00e2ce \u00e0 un un simple petit nombre qui, comme nous allons le voir dans ce dossier, est loin d\u2019\u00eatre aussi imaginaire que son nom le laisse croire\u2026 Je parle bien de i, la racine carr\u00e9e de \u20131<\/p>\n<h1>Une vraie \u201cd\u00e9couverte\u201d<\/h1>\n<p>Il y a un vrai d\u00e9bat parmis les math\u00e9maticiens et autres historiens des sciences, est-ce que l\u2019on d\u00e9couvre des concepts math\u00e9matiques ou est-ce qu\u2019on les invente? Dans le cas du nombre imaginaire, je pense que l\u2019on peut parler de d\u00e9couverte tant il est apparu alors que personne ne voulait bien en entendre parler.<\/p>\n<p>Vous le savez pour en avoir probablement souffert, les math\u00e9maticiens adorent r\u00e9soudre des \u00e9quations et parmis ces \u00e9quations, les polynomes ont occup\u00e9 un tr\u00e8s grand nombre de math\u00e9maticien. Un polynome c\u2019est une \u00e9quation qui fait intervenir une inconnue x et ses puissances, par exemple<\/p>\n<img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=2x%2B3%3D5&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='2x+3=5' title='2x+3=5' class='latex' \/>\n<p>ou<\/p>\n<img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=3x%5E5%2B4x%5E3%2B7x%2B1%3D2&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='3x^5+4x^3+7x+1=2' title='3x^5+4x^3+7x+1=2' class='latex' \/>\n<p>Plus on monte la puissance de x, plus ces \u00e9quations semblent difficilent \u00e0 r\u00e9soudre (vous savez probablement r\u00e9soudre la premi\u00e8re par exemple alors que la deuxi\u00e8me\u2026). A l\u2019\u00e9cole, vous \u00eates all\u00e9s jusqu\u2019au degr\u00e9 2, c\u2019est \u00e0 dire jusqu\u2019aux \u00e9quations qui faisaient apparaitre x \u00e0 la puissance 2. Ce sont les fameuses \u00e9quations de la forme<\/p>\n<img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=ax%5E2%2Bbx%2Bc%3D0&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='ax^2+bx+c=0' title='ax^2+bx+c=0' class='latex' \/>\n<p>On vous avait donn\u00e9 la formule magique pour la r\u00e9soudre gr\u00e2ce \u00e0 un certain delta, aussi appel\u00e9 \u201cd\u00e9terminent\u201d. Au final on a deux solutions de la forme :<\/p>\n<img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=%5Cfrac%7B-b%5Cpm%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}' title='\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}' class='latex' \/>\n<p>et bien sur pour cela il faut que <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=b%5E2-4ac&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='b^2-4ac' title='b^2-4ac' class='latex' \/>, le d\u00e9terminent soit positif, sinon on ne peut pas prendre sa \u201cracine carr\u00e9e\u201d. Eh oui, aucun nombre multipli\u00e9 par lui m\u00eame ne donne quelque chose de n\u00e9gatif!<\/p>\n<p>Avoir une formule, une recette de cuisine pour r\u00e9soudre \u00e0 la vol\u00e9e une \u00e9quation est un vrai graal, surtout \u00e0 notre \u00e9poque o\u00f9 l\u2019on peut expliquer \u00e0 des ordinateurs comment faire ces calculs fastidieux. Du coup vous imaginez bien que l\u2019on ne s\u2019est pas arr\u00eat\u00e9 l\u00e0, et l\u2019\u00e9tape suivante c\u2019est le degr\u00e9 3! Il existe aussi des formules pour le degr\u00e9 3 (et en toute franchise si on vous en parle pas, c\u2019est qu\u2019elles sont assez affreuses\u2026) :<\/p>\n<img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=ax%5E3%2Bbx%5E2%2Bcx%2Bd%3D0&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='ax^3+bx^2+cx+d=0' title='ax^3+bx^2+cx+d=0' class='latex' \/>\n<p>Cette \u00e9quation de degr\u00e9 3, tr\u00e8s g\u00e9n\u00e9rale, s\u2019est av\u00e9r\u00e9e trop complexe \u00e0 r\u00e9soudre alors des math\u00e9maticiens comme Cardan se sont int\u00e9ress\u00e9s \u00e0 une version d\u00e9grad\u00e9e :<\/p>\n<img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=x%5E23%3Dax%2Bb&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='x^23=ax+b' title='x^23=ax+b' class='latex' \/>\n<p>Cardan propose donc une solution \u00e0 l\u2019\u00e9quation d\u00e9grad\u00e9e sous la forme<\/p>\n<img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=x+%3D+%5E3%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bb%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bb%5E2%7D%7B4%7D-%5Cfrac%7Ba%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D+-+%5E3%5Csqrt%7B-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bb%5E2%7D%7B4%7D-%5Cfrac%7Ba%5E3%7D%7B27%7D%7D%7D&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='x = ^3\\sqrt{\\frac{b}{2}+\\sqrt{\\frac{b^2}{4}-\\frac{a^3}{27}}} - ^3\\sqrt{-\\frac{b}{2}+\\sqrt{\\frac{b^2}{4}-\\frac{a^3}{27}}}' title='x = ^3\\sqrt{\\frac{b}{2}+\\sqrt{\\frac{b^2}{4}-\\frac{a^3}{27}}} - ^3\\sqrt{-\\frac{b}{2}+\\sqrt{\\frac{b^2}{4}-\\frac{a^3}{27}}}' class='latex' \/>\n<p>Rassurez vous, je ne vous parle pas de ces \u00e9quations affreuses pour le plaisir e vous donner mal au ventre, d\u2019autant qu\u2019elles n\u2019ont pas grantd int\u00e9r\u00eat si l\u2019on n\u2019a pas besoin de r\u00e9soudre des \u00e9quations de degr\u00e9 3. Il se trouve que pour certaines valeurs des coefficients de l\u2019\u00e9quation, on se retrouve avec le <img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=%5Cfrac%7Bb%5E2%7D%7B4%7D-%5Cfrac%7Ba%5E3%7D%7B27%7D&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='\\frac{b^2}{4}-\\frac{a^3}{27}' title='\\frac{b^2}{4}-\\frac{a^3}{27}' class='latex' \/> plus petit que z\u00e9ro et donc avec une racine carr\u00e9e n\u00e9gative. On pourrait alors penser que comme pour le degr\u00e9 2, il suffit de dire que ces cas n\u2019ont pas de solutions. Mais certains math\u00e9maticiens ont remarqu\u00e9 quelque chose d\u2019\u00e9trange\u2026 On a une racine carr\u00e9e n\u00e9gative, soit, on va quand m\u00eame essayer de faire le calcul et au final ils se rendent compte que les racines carr\u00e9es n\u00e9gatives s\u2019annullent entre elles et trouvent bien une valeur pour x. Qu\u2019\u00e0 cela ne tienne, ils testent cette valeur et il s\u2019av\u00e8re qu\u2019elle est une bonne solution\u2026 toujours! En passant donc par un nombre bizaro\u00efdo-impossible, racine carr\u00e9e de \u20131, ils obtenaient des bonnes solutions \u00e0 leur \u00e9quations.<\/p>\n<p>Pour rappel, \u00e0 l\u2019\u00e9poque on avait d\u00e9j\u00e0 un peu de mal avec les nombres n\u00e9gatifs car on n\u2019avait pas d\u2019interpr\u00e9tation suffisament satisfaisante. En gros on ne savait pas trop ce que voulait dire manger \u20133 parts de pizza\u2026 Alors la racine carr\u00e9e d\u2019un de ces nombres n\u00e9gatifs, autant vous dire que \u00e7a ne plaisait pas.<\/p>\n<p><a href=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/wp-content\/uploads\/2015\/01\/ps201_B6sYAZbIcAAf77C.jpg\" rel=\"lightbox[2088]\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-medium wp-image-4630\" src=\"http:\/\/www.podcastscience.fm\/wp-content\/uploads\/2015\/01\/ps201_B6sYAZbIcAAf77C-300x300.jpg\" alt=\"ps201_B6sYAZbIcAAf77C.jpg\" width=\"300\" height=\"300\" \/><\/a><\/p>\n<h1>Et pourtant on peut faire des calculs, beaucoup de calculs<\/h1>\n<p>Cardan ne fut pas le seul \u00e0 se rendre compte qu\u2019aussi absurde que paraisse racine carr\u00e9e de \u20131, que j\u2019appellerai i, le nombre imaginaire, il permettait quand m\u00eame de faire des calculs. Pire encore, il simplifiait m\u00eame pas mal de probl\u00e8mes\u2026 Car par d\u00e9finition, si on multiplie la racine carr\u00e9e de \u20131 par elle m\u00eame, \u00e7a donne \u20131! On sait aussi l\u2019aditionner et le multiplier avec d\u2019autres nombres en appliquant les r\u00e8gles usuelles et pour peu qu\u2019il s\u2019annulle a un moment o\u00f9 \u00e0 un autre, on peut l\u2019utiliser ni vu ni connu pour r\u00e9soudre nos probl\u00e8mes. Ca marche, c\u2019est parfois m\u00eame plus simple qu\u2019en sans passant mais on a aucune id\u00e9e de pourquoi on a le droit de faire ce genre de truc contre nature.<\/p>\n<p>Ce n\u2019est pas sans rappeller cet \u00e9poque o\u00f9 les calculs astronomiques \u00e9taient faits avec le z\u00e9ro qu\u2019on se d\u00e9p\u00e9chait bien de supprimer des r\u00e9sultats tant il paraissait d\u00e9nu\u00e9 d\u2019explication physique.<\/p>\n<p>Reste qu\u2019entre le fait, tr\u00e8s pratique que son carr\u00e9 fait \u20131 et que l\u2019on sait utiliser les op\u00e9rations usuelles, tout un tas de formules furent trouv\u00e9es, en particulier l\u2019\u00e9quation consid\u00e9r\u00e9e par beaucoup comme la plus belle \u00e9quation des math\u00e9matiques, l\u2019\u00e9quation d\u2019Euler, car elles fait apparaitre tous les nombres les plus importants en math\u00e9matiques : l\u2019exponentielle, le nombre imaginaire i (la racine carr\u00e9e de \u20131), pi, 1 et 0.<\/p>\n<img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=e%5E%7Bi%5Cpi%7D%2B1%3D0&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='e^{i\\pi}+1=0' title='e^{i\\pi}+1=0' class='latex' \/>\n<p>Apr\u00e8s, qu\u2019est-ce que pouvait bien vouloir dire la puissance complexe d\u2019un nombre? Personne ne savait trop dire \u00e0 l\u2019\u00e9poque\u2026 on peut juste vous dire qu\u2019\u00e9lev\u00e9 \u00e0 la puissance i fois pi, si on ajoute 1, \u00e7a fait z\u00e9ro! En fait Euler a m\u00eame montr\u00e9 une chose encore plus bizarre,<\/p>\n<p>e<sup>ix<\/sup> = cos(x)+isin(x)<\/p>\n<p>Donc en fait il y a un lien entre la puissance complexe de l\u2019exponentielle et des fonctions cosinus et sinus que vous connaissez depuis l\u2019\u00e9cole (et que les math\u00e9maticiens de l\u2019\u00e9poque connaissaient depuis longtemps). Si vous \u00eates comme moi, la trigonom\u00e9trie vous a laiss\u00e9 le souvenir de ces formules impossibles \u00e0 retenir, dont on n\u2019arrivait pas \u00e0 savoir de quel esprit malade elle sortait, comme<\/p>\n<img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=cos%28a%2Bb%29+%3D+cos%28a%29cos%28b%29-sin%28a%29sin%28b%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='cos(a+b) = cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)' title='cos(a+b) = cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)' class='latex' \/>\n<img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=sin%28a%2Bb%29+%3D+sin%28a%29cos%28b%29%2Bsin%28b%29cos%28a%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='sin(a+b) = sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)' title='sin(a+b) = sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)' class='latex' \/>\n<p>Imaginons que la puissance complexe soit comme la puissance usuelle, celle que vous avait appris \u00e0 l\u2019\u00e9cole (ce n\u2019est pas tout a fait le cas, mais \u00e7a n\u2019a pas d\u2019importance ici) et que donc on sait que<\/p>\n<img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=e%5E%7Bia%7D.e%5E%7Bib%7D+%3D+e%5E%7Bi%28a%2Bb%29%7D&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='e^{ia}.e^{ib} = e^{i(a+b)}' title='e^{ia}.e^{ib} = e^{i(a+b)}' class='latex' \/>\n<p>Rappelez vous, c\u2019est tout b\u00eate dans le cas des entiers, 2<sup>3<\/sup> c\u2019est 2x2x2, 2 multipli\u00e9 par lui m\u00eame 3 fois, et 2<sup>5<\/sup> c\u2019est 2x2x2x2x2 soit 2 multipli\u00e9 par lui m\u00eame 5 fois. Donc le produit des deux c\u2019est 2<sup>(5+3)<\/sup>, soit 2 multipli\u00e9 par lui m\u00eame 5+3 fois.<\/p>\n<p>Si l\u2019on retraduit \u00e7a avec l\u2019\u00e9quation d\u2019Euler on obtient d\u2019un cot\u00e9 :<\/p>\n<img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=e%5E%7Bi%28a%2Bb%29%7D+%3D+cos%28a%2Bb%29%2Bisin%28a%2Bb%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='e^{i(a+b)} = cos(a+b)+isin(a+b)' title='e^{i(a+b)} = cos(a+b)+isin(a+b)' class='latex' \/>\n<p>et de l\u2019autre<\/p>\n<img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=e%5E%7Bia%7D.e%5E%7Bib%7D+%3D+%28cos%28a%29%2Bisin%28a%29%29%28cos%28b%29%2Bisin%28b%29%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='e^{ia}.e^{ib} = (cos(a)+isin(a))(cos(b)+isin(b))' title='e^{ia}.e^{ib} = (cos(a)+isin(a))(cos(b)+isin(b))' class='latex' \/>\n<img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=e%5E%7Bia%7D.e%5E%7Bib%7D+%3D+cos%28a%29cos%28b%29%2Bi.i.sin%28a%29sin%28b%29%2Bisin%28a%29cos%28b%29%2Bisin%28b%29cos%28a%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='e^{ia}.e^{ib} = cos(a)cos(b)+i.i.sin(a)sin(b)+isin(a)cos(b)+isin(b)cos(a)' title='e^{ia}.e^{ib} = cos(a)cos(b)+i.i.sin(a)sin(b)+isin(a)cos(b)+isin(b)cos(a)' class='latex' \/>\n<img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=e%5E%7Bia%7D.e%5E%7Bib%7D+%3D+cor%28a%29cos%28b%29-sin%28a%29sin%28b%29%2Bi%28sin%28a%29cos%28b%29%2Bsin%28b%29cos%28a%29%29&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='e^{ia}.e^{ib} = cor(a)cos(b)-sin(a)sin(b)+i(sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a))' title='e^{ia}.e^{ib} = cor(a)cos(b)-sin(a)sin(b)+i(sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a))' class='latex' \/>\n<p>Si l\u2019on regroupe d\u2019un cot\u00e9 les \u00e9l\u00e9ments multipli\u00e9s par le nombre imaginaire i et de l\u2019autre ceux qui ne le sont pas, on retrouve les \u00e9quations pr\u00e9c\u00e9dentes, en faisant de simples produit entre eux. Alors certes c\u2019est mon dossier avec le plus d\u2019\u00e9quations mais avouez que comprendre les formules qui ont hant\u00e9 votre jeunesse gr\u00e2ce \u00e0 un simple nombre imaginaire est quand m\u00eame fou!<\/p>\n<p>Reste qu\u2019\u00e0 ce stade, on peut croire que i, le nombre imaginaire n\u2019est qu\u2019un truc amusant et qui ne sert pas \u00e0 grand chose (sensation que vous devez souvent avoir dans mes dossiers). Comme nous allons le voir tout de suite, les nombres complexes ont une interpr\u00e9tation g\u00e9om\u00e9trique bien plus forte et \u00e9l\u00e9gante que n\u2019a jamais pu avoir le z\u00e9ro ou les nombres n\u00e9gatifs.<\/p>\n<h1>L\u2019id\u00e9e qui r\u00e9v\u00e8la la beaut\u00e9<\/h1>\n<p>On se retrouvait donc avec un nombre imaginaire et des nombres complexes qui, bien que paraissant bien pratiques, paraissaient aussi bien d\u00e9nu\u00e9s de sens\u2026 Les nombres complexes sont tous les nombres que l\u2019on peut composer a partir des nombres usuels et du nombre imaginaire, c\u2019est a dire comme 3+4i, 5+7i, etc., la somme d\u2019un nombre \u201cr\u00e9el\u201d et d\u2019un nombre \u201cimaginaire\u201d, produit d\u2019un nombre r\u00e9el et du nombre imaginaire i. Comme on pouvait pas vraiment marier un nombre usuel, tel 5 et un nombre imaginaire tel 7i pour en faire un autre nombre, Wessel eu l\u2019id\u00e9e de repr\u00e9senter ces nombres sur le plan, avec l\u2019axe horizontal pour les nombres r\u00e9els, les nombres usuels, et l\u2019axe vertical pour les nombres imaginaires, les nombres r\u00e9els multipli\u00e9s par i.<\/p>\n<p>Cette id\u00e9e toute b\u00eate allait tout changer, car elle donnait une magnifique interpr\u00e9tation g\u00e9om\u00e9trique \u00e0 cet \u00e9trange objet! Ca change tout parce que non seulement \u00e7a donne un sens \u00e0 i (un point sur l\u2019axe vertical) mais surtout \u00e7a donne un sens \u00e0 la multiplication par i. Si l\u2019on prend un nombre r\u00e9el (de l\u2019axe horizontal) et qu\u2019on le multiplie par i, il appartient maintenant \u00e0 l\u2019axe vertical : comme s\u2019il avait fait une rotation de 90\u00b0!<\/p>\n<p>Et ce n\u2019est pas qu\u2019une impression, rappelez vous, i<sup>2<\/sup>=\u20131, c\u2019est la base de tout ce qui \u00e9tonnait tout le monde. Et que donnent deux rotations successives de 90\u00b0? Une rotation de 180\u00b0, c\u2019est \u00e0 dire une sym\u00e9trie par rapport au centre, l\u2019oppos\u00e9 du point pr\u00e9c\u00e9dent. Le fait que i<sup>2=<\/sup>\u20131 deviens logique et naturel et s\u2019explique merveilleusement g\u00e9om\u00e9triquement!<\/p>\n<p>A partir de ce moment s\u2019ouvre toute l\u2019ing\u00e9niosit\u00e9 et la beaut\u00e9 des nombres complexes, prennez par exemple les polynomes, ces \u00e9quations afreuses dont je vous parlais en d\u00e9but d\u2019expos\u00e9, par exemple un simple polynome de degr\u00e9 3 :<\/p>\n<img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=x%5E3%3D1&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='x^3=1' title='x^3=1' class='latex' \/>\n<p>et cessez de penser nombre et pensez rotations : une rotation appliqu\u00e9e trois fois qui donne la rotation d\u2019angle 0\u00b0 (quand on multiplie un nombre par lui m\u00eame, le nombre ne change pas, donc pas de rotation). Eh bien on a bien sur la rotation d\u2019angle 0\u00b0 (c\u2019est \u00e0 dire 1), la rotation d\u2019angle 120\u00b0 (120\u00b0x3=360\u00b0) et la rotation d\u2019angle 240\u00b0 (240\u00b0x3=720\u00b0=360\u00b0*2) c\u2019est \u00e0 dire les nombres complexes correspondant \u00e0 une rotation d\u2019angle 0, 120 et 240\u00b0. Non seulement cette \u00e9quation trouve des nouvelles solutions mais elles apparaissent comme \u00e9videntes! La g\u00e9om\u00e9trie se marie d\u2019un coup avec l\u2019alg\u00e8bre.<\/p>\n<p>En fait, il est fort a parier que si les grecs avaient d\u00e9couvert cette interpr\u00e9tation des nombres complexes, ils l\u2019auraient trouv\u00e9 bien plus \u00e9vidente que l\u2019interpr\u00e9tation d\u2019un z\u00e9ro ou d\u2019un nombre n\u00e9gatif!<\/p>\n<h1>Et \u00e7a sert vraiment \u00e0 quelque chose?<\/h1>\n<p>Je suis toujours amus\u00e9 de d\u00e9couvrir que tant de personnes pensent que les nombres complexes sont un truc obscur qui ne sert \u00e0 rien. En fait, je ne vois pas d\u2019application dans lesquels ils posent des calculs et o\u00f9 ils n\u2019interviennent pas. Ils sont indispensable en \u00e9lectricit\u00e9, en traitement d\u2019images o\u00f9 m\u00eame dans les \u00e9quations de la relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale! Ce n\u2019est pas un hasard, ces nombres l\u00e0 manquaient.<\/p>\n<p>Quand je dis \u201cmanquaient\u201d c\u2019est au sens math\u00e9matique bien sur. Quand on fait des sciences ou que l\u2019on essaie plus g\u00e9n\u00e9ralement de r\u00e9soudre un probl\u00e8me \u00e0 l\u2019aide d\u2019\u00e9quations, on est amen\u00e9s \u00e0 op\u00e9rer des additions, des soustractions, des multiplications avec la fameuse inconnue x. Si bien que l\u2019on se retrouve tr\u00e8s vite avec les fameux polynomes, ces \u00e9quations faites de puissances de x. Or, avec les nombres (qui vous paraissent) usuels, certaines de ces \u00e9quations, m\u00eame tr\u00e8s simples n\u2019ont pas de solution :<\/p>\n<img src='https:\/\/s0.wp.com\/latex.php?latex=x%5E2%2B1%3D0&#038;bg=ffffff&#038;fg=000000&#038;s=0' alt='x^2+1=0' title='x^2+1=0' class='latex' \/>\n<p>La solution est ici bien sur i. On peut alors se demander si avec les complexes, ces nombres construit gr\u00e2ce \u00e0 i et aux nombres r\u00e9els on s\u2019en sort mieux ou si l\u2019on r\u00e9soud seulement une \u00e9quation de plus, pas tr\u00e8s folichon. En fait, le Th\u00e9or\u00e8me fondamental de l\u2019Alg\u00e8bre r\u00e9pond \u00e0 cette question :<\/p>\n<p>\u201cToute \u00e9quation polynomiale a au moins une solution dans les nombres complexes\u201d<\/p>\n<p>Savourez la beaut\u00e9 de la chose, ce n\u2019est pas un de ces th\u00e9or\u00e8me qui vous demande de respecter 50 conditions compliqu\u00e9es, non, celui-ci se contente de dire \u201ctoute \u00e9quation a une solution, bisous\u201d. Pas besoin de rajouter d\u2019autres nombres, notre ensemble est enfin cl\u00f4t (c\u2019est le terme math\u00e9matique), il admet des solutions \u00e0 toute \u00e9quation! En fait c&#8217;est m\u00eame encore plus fort que \u00e7a, si vous r\u00e9fl\u00e9chissez un peu au probl\u00e8me, vous vous rendrez rapidement compte qu&#8217;un polynome de degr\u00e9 n ne peut pas avoir plus de n solutions et ce th\u00e9or\u00e8me affirme que dans les complexes il y en a exactement n!<\/p>\n<p>Plus encore, le fait que les nombres complexes soient intimement li\u00e9s aux rotations et aux ondes (les sinus et les cosinus) les rendent extr\u00eamement utiles d\u00e8s que l\u2019on \u00e0 faire \u00e0 des ondes. Or, rappelez vous mon \u00e9pisode sur la transform\u00e9e de Fourier, tout est onde et les ondes sont utilis\u00e9es partout, autant vous dire que donc, les nombres complexes sont, au moins, utilis\u00e9s dans autant d\u2019endroits!<\/p>\n<p>Ce n\u2019est alors pas \u00e9tonn\u00e9 s\u2019il n\u2019y a pas si longtemps, quelques dizaines d\u2019ann\u00e9es, toute personne ne pensait que dans les nombres complexes a moins qu\u2019on lui ai pr\u00e9cis\u00e9 explicitement que l\u2019on voulait se \u201climiter\u201d aux r\u00e9els! En fait, il est m\u00eame tr\u00e8s courant que pour simplifier un probl\u00e8me, on le complexifie (oui, les termes ne sont pas tr\u00e8s heureux), c&#8217;est \u00e0 dire qu&#8217;on transforme les grandeurs r\u00e9elles du probl\u00e8me en grandeurs complexes pour simplifier les calculs: Aujourd&#8217;hui, m\u00eame si peu s&#8217;en rendent compte, aucun scientifique n&#8217;imaginerai faire ses calculs sans les complexes.<\/p>\n<h5>Quelques r\u00e9f\u00e9rences<\/h5>\n<p>Malgr\u00e9 mes recherches, je n&#8217;ai pas trouv\u00e9 un bon livre facile d&#8217;acc\u00e8s sur le sujet. Le meilleur moyen d&#8217;en savoir plus est alors sans doute les blogs et autres r\u00e9f\u00e9rences web. D&#8217;abord, le bon Eljj a fait plusieurs articles sur le sujet qui sont regroup\u00e9s <a href=\"http:\/\/eljjdx.canalblog.com\/tag\/Nombres%20complexes\">ici<\/a>. Wikipedia poss\u00e8de ausssi plusieurs pages sur le sujet comme la g\u00e9n\u00e9rale <a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Nombre_complexe\">Nombres Complexes<\/a> ou celle plus sur l&#8217;<a href=\"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Histoire_des_nombres_complexes\">histoire de ces nombres<\/a>.<\/p>\n<p class=\"wp-flattr-button\"><a class=\"FlattrButton\" style=\"display:none;\" href=\"https:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/2015\/04\/ps201-les-nombres-complexes\/\" title=\" PS201 &#8211; Les nombres complexes\" rev=\"flattr;uid:nicotupe;language:fr_FR;category:text;tags:nicotupe.fr;\">Cet article est un dossier pour PodcastScience \u00e9pisode 201, n&#8217;h\u00e9sitez pas \u00e0 vous y balader sur le site www.podcastscience.fm! &nbsp; Les nombres ont passionn\u00e9 et passionnent plus d\u2019un math\u00e9maticien. 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Nous avons pu d\u2019abord d\u00e9couvrir [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":1815,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":"","_links_to":"","_links_to_target":""},"categories":[46,38],"tags":[],"class_list":["post-2088","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-podcastscience","category-sciences"],"jetpack_featured_media_url":"https:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/wp-content\/uploads\/2013\/06\/2013-06-20-19-40-28-les-nombres-imaginaires-se-posent-des-questions-tres-complexes-dans-podcastscience-ps136.jpeg","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2088","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2088"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2088\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2090,"href":"https:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2088\/revisions\/2090"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/wp-json\/wp\/v2\/media\/1815"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2088"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2088"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/nicotupe.fr\/Blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2088"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}